Номер 112, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 112, страница 38.

Условие.

112. Найдите катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а радиус вписанной в него окружности равен 2 см.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $a$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника, а $c$ – его гипотенуза.По условию задачи, гипотенуза $c = 13$ см, а радиус вписанной в него окружности $r = 2$ см.

Для нахождения катетов воспользуемся двумя ключевыми свойствами прямоугольного треугольника.

1. Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник связывает его с катетами и гипотенузой:$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим в эту формулу известные значения $r=2$ и $c=13$, чтобы найти сумму катетов $a + b$:
$2 = \frac{a + b - 13}{2}$
Умножим обе части на 2:
$4 = a + b - 13$
Отсюда выразим сумму катетов:
$a + b = 4 + 13$
$a + b = 17$

2. Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника:$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известное значение гипотенузы $c=13$:
$a^2 + b^2 = 13^2$
$a^2 + b^2 = 169$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
1) $a + b = 17$
2) $a^2 + b^2 = 169$

Для решения системы выразим одну переменную через другую из первого уравнения: $b = 17 - a$.Подставим это выражение во второе уравнение:
$a^2 + (17 - a)^2 = 169$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$a^2 + (17^2 - 2 \cdot 17 \cdot a + a^2) = 169$
$a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169$
Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$2a^2 - 34a + 289 - 169 = 0$
$2a^2 - 34a + 120 = 0$
Для удобства разделим все уравнение на 2:
$a^2 - 17a + 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 60. Легко подобрать такие числа: это 5 и 12, так как $5 + 12 = 17$ и $5 \cdot 12 = 60$.
Следовательно, корни уравнения для катета $a$ это $a_1 = 5$ и $a_2 = 12$.

Найдем соответствующие значения для второго катета $b$, используя соотношение $b = 17 - a$:

• Если $a = 5$ см, то $b = 17 - 5 = 12$ см.
• Если $a = 12$ см, то $b = 17 - 12 = 5$ см.

В обоих случаях мы получаем, что длины катетов равны 5 см и 12 см.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.