Номер 106, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 106, страница 37.

Условие.

106. На преодоление 15 км по течению и 18 км против течения путешественник на катере затратил 1 ч 45 мин. Найдите скорость катера и скорость течения реки, если за 15 мин катер может пройти по течению 5 км.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_к$ — собственная скорость катера (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч). Тогда скорость катера по течению реки равна $(v_к + v_т)$ км/ч, а скорость катера против течения реки равна $(v_к - v_т)$ км/ч.

Из условия известно, что за 15 минут катер может пройти по течению 5 км. Сначала переведем время из минут в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Теперь мы можем найти скорость катера по течению, используя формулу скорости $v = S/t$: $v_{по~течению} = v_к + v_т = \frac{5 \text{ км}}{1/4 \text{ ч}} = 5 \cdot 4 = 20 \text{ км/ч}$. Мы получили первое уравнение: $v_к + v_т = 20$.

Далее, в условии сказано, что на преодоление 15 км по течению и 18 км против течения было затрачено 1 час 45 минут. Переведем это время в часы: $1 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 1 \frac{45}{60} \text{ ч} = 1 \frac{3}{4} \text{ ч} = \frac{7}{4} \text{ ч}$.

Время, затраченное на путь по течению, составляет $t_1 = \frac{S_1}{v_{по~течению}} = \frac{15}{v_к + v_т}$. Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{S_2}{v_{против~течения}} = \frac{18}{v_к - v_т}$. Общее время равно $t_1 + t_2$. Составим второе уравнение: $\frac{15}{v_к + v_т} + \frac{18}{v_к - v_т} = \frac{7}{4}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$ \begin{cases} v_к + v_т = 20 \\ \frac{15}{v_к + v_т} + \frac{18}{v_к - v_т} = \frac{7}{4} \end{cases} $$

Подставим значение $(v_к + v_т)$ из первого уравнения во второе: $\frac{15}{20} + \frac{18}{v_к - v_т} = \frac{7}{4}$.

Упростим первое слагаемое $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$. Уравнение примет вид: $\frac{3}{4} + \frac{18}{v_к - v_т} = \frac{7}{4}$.

Выразим слагаемое с неизвестными: $\frac{18}{v_к - v_т} = \frac{7}{4} - \frac{3}{4}$ $\frac{18}{v_к - v_т} = \frac{4}{4} = 1$.

Отсюда следует, что $v_к - v_т = 18$.

Теперь мы имеем более простую систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} v_к + v_т = 20 \\ v_к - v_т = 18 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения: $(v_к + v_т) + (v_к - v_т) = 20 + 18$ $2v_к = 38$ $v_к = \frac{38}{2} = 19$.

Таким образом, собственная скорость катера равна 19 км/ч.

Подставим найденное значение $v_к$ в первое уравнение системы, чтобы найти скорость течения: $19 + v_т = 20$ $v_т = 20 - 19 = 1$.

Следовательно, скорость течения реки равна 1 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера — 19 км/ч, скорость течения реки — 1 км/ч.