Номер 101, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 101, страница 33.

Условие.

101. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0, \\ x^2 - 7y^2 = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 2y^2 + 3xy = 0, \\ x^2 - 5y^2 = -4. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0 \\ x^2 - 7y^2 = 4 \end{cases} $$

Первое уравнение $x^2 - 5xy + 4y^2 = 0$ является однородным. Заметим, что пара $(0; 0)$ не является решением второго уравнения, так как $0^2 - 7 \cdot 0^2 = 0 \neq 4$. Следовательно, $y \neq 0$. Мы можем разделить первое уравнение на $y^2$:

$$ \frac{x^2}{y^2} - \frac{5xy}{y^2} + \frac{4y^2}{y^2} = 0 $$

$$ (\frac{x}{y})^2 - 5(\frac{x}{y}) + 4 = 0 $$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Возвращаемся к исходным переменным:

1. $\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$.

2. $\frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$.

Теперь подставим поочередно эти выражения во второе уравнение системы $x^2 - 7y^2 = 4$.

Случай 1: $x = y$.

Подставляем $x=y$ во второе уравнение:

$$ (y)^2 - 7y^2 = 4 $$

$$ -6y^2 = 4 $$

$$ y^2 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} $$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $x = 4y$.

Подставляем $x=4y$ во второе уравнение:

$$ (4y)^2 - 7y^2 = 4 $$

$$ 16y^2 - 7y^2 = 4 $$

$$ 9y^2 = 4 $$

$$ y^2 = \frac{4}{9} \implies y = \pm\frac{2}{3} $$

Если $y_1 = \frac{2}{3}$, то $x_1 = 4y_1 = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

Если $y_2 = -\frac{2}{3}$, то $x_2 = 4y_2 = 4 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{8}{3}$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{8}{3}; \frac{2}{3}), (-\frac{8}{3}; -\frac{2}{3})$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 + 3xy = 0 \\ x^2 - 5y^2 = -4 \end{cases} $$

Перепишем первое уравнение в стандартном виде: $x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$. Это однородное уравнение. Заметим, что пара $(0; 0)$ не является решением второго уравнения ($0^2 - 5 \cdot 0^2 = 0 \neq -4$), поэтому можно считать, что $y \neq 0$. Разделим первое уравнение на $y^2$:

$$ (\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) + 2 = 0 $$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$$ t^2 + 3t + 2 = 0 $$

По теореме Виета, сумма корней равна -3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$. Возвращаемся к исходным переменным:

1. $\frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$.

2. $\frac{x}{y} = -2 \implies x = -2y$.

Подставим эти выражения во второе уравнение системы $x^2 - 5y^2 = -4$.

Случай 1: $x = -y$.

$$ (-y)^2 - 5y^2 = -4 $$

$$ y^2 - 5y^2 = -4 $$

$$ -4y^2 = -4 $$

$$ y^2 = 1 \implies y = \pm 1 $$

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -y_1 = -1$. Получаем решение $(-1; 1)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -y_2 = -(-1) = 1$. Получаем решение $(1; -1)$.

Случай 2: $x = -2y$.

$$ (-2y)^2 - 5y^2 = -4 $$

$$ 4y^2 - 5y^2 = -4 $$

$$ -y^2 = -4 $$

$$ y^2 = 4 \implies y = \pm 2 $$

Если $y_3 = 2$, то $x_3 = -2y_3 = -2 \cdot 2 = -4$. Получаем решение $(-4; 2)$.

Если $y_4 = -2$, то $x_4 = -2y_4 = -2 \cdot (-2) = 4$. Получаем решение $(4; -2)$.

Таким образом, система имеет четыре решения.

Ответ: $(-1; 1), (1; -1), (-4; 2), (4; -2)$.