Номер 95, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 95, страница 32.

Условие.

95. Существуют ли два различных числа, сумма ($x+y$), произведение ($xy$) и разность квадратов ($x^2 - y^2$) которых равны?

Решение.

Решение 2 (rus).

Да, такие числа существуют. Чтобы их найти, обозначим эти два различных числа через $x$ и $y$. По условию задачи их сумма, произведение и разность квадратов равны. Составим систему уравнений.

$x + y = x \cdot y$

$x + y = x^2 - y^2$

Заметим, что разность квадратов $x^2 - y^2$ можно разложить на множители: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Подставим это во второе уравнение:

$x + y = (x - y)(x + y)$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$(x - y)(x + y) - (x + y) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:

$(x + y)((x - y) - 1) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения: либо $x + y = 0$, либо $(x - y) - 1 = 0$. Рассмотрим оба случая.

1. Если $x + y = 0$, то $y = -x$. Подставим это в первое уравнение нашей системы $x + y = x \cdot y$. Получим $0 = x \cdot (-x)$, или $-x^2 = 0$, откуда следует, что $x = 0$. Если $x=0$, то и $y = 0$. В этом случае числа не являются различными, что противоречит условию задачи.

2. Если $(x - y) - 1 = 0$, то $x - y = 1$, откуда $y = x - 1$. Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы $x + y = x \cdot y$:

$x + (x - 1) = x(x - 1)$

$2x - 1 = x^2 - x$

Приведем это уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 3x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Мы получили два решения для $x$. Найдем для каждого из них соответствующий $y$.

Пусть $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Тогда $y = x - 1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{3 + \sqrt{5} - 2}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Эти два числа, $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ и $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, различны. Проверим, выполняются ли для них условия задачи.

Сумма: $x + y = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{5}}{2} = 2 + \sqrt{5}$.

Произведение: $x \cdot y = \left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{3 + 3\sqrt{5} + \sqrt{5} + 5}{4} = \frac{8 + 4\sqrt{5}}{4} = 2 + \sqrt{5}$.

Разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Так как $x-y = 1$, а $x+y = 2+\sqrt{5}$, то $x^2 - y^2 = 1 \cdot (2+\sqrt{5}) = 2+\sqrt{5}$.

Все три величины равны, следовательно, такая пара чисел является решением. Второе решение для $x$ ($x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$) даст другую пару чисел, которая также удовлетворяет условию.

Ответ: Да, существуют. Например, числа $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ и $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.