Номер 88, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 88, страница 31.

Условие.

88. Докажите, что если выполняются условия $\begin{cases} x + y = 8, \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases}$, то $x^5 + y^5 = 3368.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства нам необходимо, исходя из данных условий, вычислить значение выражения $x^5 + y^5$.

Нам дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 8 \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} $

Возведем первое уравнение в квадрат:

$(x+y)^2 = 8^2$

$x^2 + 2xy + y^2 = 64$

Мы знаем, что $x^2 + y^2 = 34$. Подставим это значение в полученное равенство:

$34 + 2xy = 64$

Найдем отсюда произведение $xy$:

$2xy = 64 - 34$

$2xy = 30$

$xy = 15$

Теперь мы знаем сумму $x+y=8$ и произведение $xy=15$ двух чисел $x$ и $y$. По теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим известные нам значения суммы и произведения:

$t^2 - 8t + 15 = 0$

Решим это уравнение. Его можно разложить на множители:

$(t-3)(t-5) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = 5$.

Это означает, что пара чисел $\{x, y\}$ - это $\{3, 5\}$. То есть, либо $x=3, y=5$, либо $x=5, y=3$.

Теперь вычислим значение выражения $x^5 + y^5$. В обоих случаях результат будет одинаковым из-за коммутативности сложения.

$x^5 + y^5 = 3^5 + 5^5$

Вычислим каждую степень по отдельности:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

$5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125$

Сложим полученные значения:

$x^5 + y^5 = 243 + 3125 = 3368$

Таким образом, мы доказали, что если выполняются заданные условия, то $x^5 + y^5 = 3368$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условий системы следует, что пара чисел $\{x, y\}$ это $\{3, 5\}$, а $3^5 + 5^5 = 3368$.