Номер 81, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 81, страница 30.

Условие.

81. Решите систему уравнений, используя способ сложения:

a) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x^2 + y^2 = 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ x^2 - y^2 = 21. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x^2 + y^2 = 10. \end{cases} $

Чтобы решить систему способом сложения, сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 8 + 10$

$2x^2 = 18$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 9$

Отсюда находим возможные значения для $x$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь подставим найденное значение $x^2 = 9$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение $x^2 + y^2 = 10$:

$9 + y^2 = 10$

$y^2 = 10 - 9$

$y^2 = 1$

Отсюда находим возможные значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Решениями системы являются все пары $(x, y)$, которые можно составить из найденных значений.

Ответ: $(3; 1)$, $(3; -1)$, $(-3; 1)$, $(-3; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ x^2 - y^2 = 21. \end{cases} $

Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 29 + 21$

$2x^2 = 50$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 25$

Отсюда находим возможные значения для $x$: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Подставим найденное значение $x^2 = 25$ в первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 29$:

$25 + y^2 = 29$

$y^2 = 29 - 25$

$y^2 = 4$

Отсюда находим возможные значения для $y$: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Решениями системы являются все пары $(x, y)$, которые можно составить из найденных значений.

Ответ: $(5; 2)$, $(5; -2)$, $(-5; 2)$, $(-5; -2)$.