Номер 77, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 77, страница 25.

Условие.

77. a) Можно ли число 2018 представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел?

б) Для хранения одной тонны зерна имеются мешки двух размеров: одни вместимостью по 60 кг, другие – по 50 кг. Какое наименьшее количество мешков этих размеров надо взять, чтобы все они были наполнены?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Требуется определить, можно ли число 2018 представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Пусть эти натуральные числа — $x$ и $y$. Тогда искомое равенство имеет вид:
$x^2 - y^2 = 2018$
Воспользуемся формулой разности квадратов:
$(x - y)(x + y) = 2018$
Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа и $x^2 > y^2$, то $x > y$. Следовательно, множители $(x-y)$ и $(x+y)$ являются натуральными числами.
Рассмотрим чётность этих множителей. Их сумма равна $(x - y) + (x + y) = 2x$, что является чётным числом. Сумма двух целых чисел чётна только в том случае, если оба числа имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные).
1. Если оба множителя $(x-y)$ и $(x+y)$ нечётные, то их произведение также будет нечётным. Однако число 2018 — чётное, поэтому этот случай невозможен.
2. Если оба множителя $(x-y)$ и $(x+y)$ чётные, то их произведение должно делиться на 4 (так как каждое из них делится на 2). Проверим, делится ли 2018 на 4:
$2018 \div 4 = 504.5$
Число 2018 не делится на 4 без остатка. Следовательно, оно не может быть произведением двух чётных чисел.
Поскольку множители $(x-y)$ и $(x+y)$ не могут быть ни оба нечётными, ни оба чётными, не существует таких натуральных чисел $x$ и $y$, разность квадратов которых равна 2018.
Ответ: нет, нельзя.

б) Нужно разместить 1 тонну (1000 кг) зерна в мешки вместимостью 60 кг и 50 кг. Требуется найти наименьшее общее количество мешков.
Пусть $x$ — количество мешков по 60 кг, а $y$ — количество мешков по 50 кг. Так как мешки должны быть наполнены, $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами.
Составим уравнение, исходя из общей массы зерна:
$60x + 50y = 1000$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 10:
$6x + 5y = 100$
Нам нужно найти такие целые неотрицательные решения $(x, y)$ этого уравнения, для которых сумма $N = x + y$ будет минимальной.
Выразим $y$ через $x$:
$5y = 100 - 6x$
$y = \frac{100 - 6x}{5} = 20 - \frac{6x}{5}$
Поскольку $y$ должен быть целым числом, выражение $6x$ должно быть кратно 5. Так как числа 6 и 5 взаимно простые, $x$ должен делиться на 5.
Также, так как $x$ и $y$ — неотрицательные числа:
$x \ge 0$
$y = 20 - \frac{6x}{5} \ge 0 \Rightarrow 20 \ge \frac{6x}{5} \Rightarrow 100 \ge 6x \Rightarrow x \le \frac{100}{6} \approx 16.67$
Итак, возможные значения для $x$ — это целые числа, кратные 5, в диапазоне от 0 до 16. Такими значениями являются 0, 5, 10, 15.
Рассмотрим все возможные варианты:
1. Если $x=0$, то $y = 20 - \frac{6 \cdot 0}{5} = 20$. Общее количество мешков $N = x+y = 0+20=20$.
2. Если $x=5$, то $y = 20 - \frac{6 \cdot 5}{5} = 20 - 6 = 14$. Общее количество мешков $N = x+y = 5+14=19$.
3. Если $x=10$, то $y = 20 - \frac{6 \cdot 10}{5} = 20 - 12 = 8$. Общее количество мешков $N = x+y = 10+8=18$.
4. Если $x=15$, то $y = 20 - \frac{6 \cdot 15}{5} = 20 - 18 = 2$. Общее количество мешков $N = x+y = 15+2=17$.
Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее количество мешков равно 17. Это достигается при использовании 15 мешков по 60 кг и 2 мешков по 50 кг.
Ответ: 17 мешков.