Номер 70, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 70, страница 24.

Условие.

70. Груз массой $m$ тонн был перевезен автоколонной, состоящей из $x$ машин, когда каждая из них сделала по $y$ рейсов, а затем еще 7 из этих машин – по 12 рейсов. Если бы каждая из машин сделала по $(y+6)$ рейсов, то для перевозки половины груза потребовалось бы на 7 машин меньше. Сколько машин было в автоколонне?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $x$ – количество машин в автоколонне.

Пусть $y$ – количество рейсов, которое изначально сделала каждая машина.

Пусть $c$ – грузоподъемность одной машины за один рейс (в тоннах).

Исходя из первого условия, вся масса груза $m$ была перевезена, когда все $x$ машин сделали по $y$ рейсов, а затем 7 из этих машин сделали еще по 12 рейсов. Общее количество выполненных "машино-рейсов" можно выразить как $x \cdot y + 7 \cdot 12$. Тогда общая масса перевезенного груза $m$ равна:

$m = c \cdot (xy + 84)$

Согласно второму, гипотетическому, условию, для перевозки половины груза ($\frac{m}{2}$) потребовалось бы на 7 машин меньше (то есть, $x-7$ машин), и каждая из них сделала бы по $(y+6)$ рейсов. Общее количество "машино-рейсов" в этом случае составило бы $(x-7)(y+6)$. Тогда половина массы груза равна:

$\frac{m}{2} = c \cdot (x-7)(y+6)$

Из этого выражения можно получить полную массу груза $m$, умножив обе части на 2:

$m = 2c \cdot (x-7)(y+6)$

Теперь мы можем приравнять два выражения для массы $m$, полученные из двух условий, так как речь идет об одной и той же массе груза:

$c \cdot (xy + 84) = 2c \cdot (x-7)(y+6)$

Поскольку грузоподъемность машины $c$ не может быть равна нулю (иначе груз не был бы перевезен), мы можем сократить обе части уравнения на $c$:

$xy + 84 = 2(x-7)(y+6)$

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

$xy + 84 = 2(xy + 6x - 7y - 42)$

$xy + 84 = 2xy + 12x - 14y - 84$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$0 = 2xy - xy + 12x - 14y - 84 - 84$

$0 = xy + 12x - 14y - 168$

Для решения этого уравнения с двумя переменными применим метод разложения на множители. Сгруппируем члены:

$x(y + 12) - 14y - 168 = 0$

Вынесем $-14$ из последних двух членов:

$x(y + 12) - 14(y + 12) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(y+12)$ за скобки:

$(x - 14)(y + 12) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1. $x - 14 = 0$, откуда $x = 14$.

2. $y + 12 = 0$, откуда $y = -12$.

По смыслу задачи, $y$ – это количество рейсов, и оно не может быть отрицательным числом. Следовательно, решение $y = -12$ не подходит.

Единственным возможным решением, удовлетворяющим физическому смыслу задачи, является $x = 14$. Также необходимо убедиться, что это значение соответствует другим условиям: в задаче упоминается, что "7 из этих машин" делали дополнительные рейсы ($x \ge 7$) и что для перевозки половины груза потребовалось "на 7 машин меньше" ($x-7 > 0$ или $x>7$). Значение $x=14$ удовлетворяет всем этим условиям.

Таким образом, в автоколонне было 14 машин.

Ответ: 14.