Номер 64, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 64, страница 23.

Условие.

64. Исследуйте, существует ли такое двузначное число, при делении которого на сумму цифр в частном получается 3, а в остатке – 7.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомое двузначное число равно $N$. Любое двузначное число можно представить в виде $N = 10a + b$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. При этом $a$ является целым числом в диапазоне от 1 до 9, а $b$ – целым числом от 0 до 9.

Сумма цифр этого числа равна $S = a + b$.

Согласно условию задачи, при делении числа $N$ на сумму его цифр $S$ в частном получается 3, а в остатке – 7. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком:

$N = 3 \cdot S + 7$

Важным условием при делении с остатком является то, что остаток должен быть строго меньше делителя. В данном случае это означает:

$7 < S$ или $a + b > 7$.

Подставим выражения для $N$ и $S$ в основное уравнение:

$10a + b = 3 \cdot (a + b) + 7$

Теперь решим это уравнение относительно переменных $a$ и $b$:

$10a + b = 3a + 3b + 7$

$10a - 3a = 3b - b + 7$

$7a = 2b + 7$

Выразим $b$ через $a$:

$7a - 7 = 2b$

$7(a - 1) = 2b$

$b = \frac{7(a - 1)}{2}$

Поскольку $b$ должно быть целым числом, произведение $7(a - 1)$ должно быть четным. Так как 7 — нечетное число, то множитель $(a - 1)$ должен быть четным. Это, в свою очередь, означает, что $a$ должно быть нечетным числом.

Проверим все возможные нечетные значения для $a$ от 1 до 9.

1. Пусть $a = 1$.

$b = \frac{7(1 - 1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Получаем число 10. Проверим для него условие $a + b > 7$.

$1 + 0 = 1$. Неравенство $1 > 7$ ложно. Следовательно, число 10 не подходит.

2. Пусть $a = 3$.

$b = \frac{7(3 - 1)}{2} = \frac{7 \cdot 2}{2} = 7$.

Получаем число 37. Проверим для него условие $a + b > 7$.

$3 + 7 = 10$. Неравенство $10 > 7$ истинно. Условие выполняется.

Теперь выполним проверку деления для числа 37. Сумма его цифр равна 10. Разделим 37 на 10:

$37 \div 10 = 3$ (остаток 7).

Результат полностью соответствует условию задачи. Значит, число 37 является решением.

3. Пусть $a = 5$.

$b = \frac{7(5 - 1)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$.

Значение $b = 14$ не является цифрой, так как $b$ не может быть больше 9. Следовательно, это не решение.

Для всех последующих нечетных значений $a$ (7 и 9), значение $b$ будет еще больше, а значит, также не будет являться цифрой.

Таким образом, существует единственное двузначное число, которое удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: да, такое число существует. Это число 37.