Номер 63, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 63, страница 23.

Условие.

63. Найдите все пары чисел (x; y), удовлетворяющие соотношению:

а) $4x^2 - 81y^2 = 0;$

б) $x^2 + 2xy + y^2 = 0;$

в) $xy + 20 = 5x + 4y;$

г) $x\sqrt{y} - 3 = x - 3\sqrt{y}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходное уравнение: $4x^2 - 81y^2 = 0$.
Данное уравнение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В нашем случае $a^2 = 4x^2$, поэтому $a = 2x$, и $b^2 = 81y^2$, поэтому $b = 9y$.
Применяя формулу, получаем: $(2x - 9y)(2x + 9y) = 0$.
Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Рассмотрим два случая:
1. $2x - 9y = 0 \implies 2x = 9y \implies x = \frac{9}{2}y$.
2. $2x + 9y = 0 \implies 2x = -9y \implies x = -\frac{9}{2}y$.
Следовательно, решением является множество всех пар $(x; y)$, для которых выполняется одно из этих двух соотношений.
Ответ: все пары $(x; y)$ такие, что $x = 4.5y$ или $x = -4.5y$.

б) Исходное уравнение: $x^2 + 2xy + y^2 = 0$.
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a=x$ и $b=y$, поэтому уравнение принимает вид: $(x+y)^2 = 0$.
Если квадрат некоторого выражения равен нулю, то и само выражение равно нулю: $x+y = 0$.
Отсюда получаем зависимость между $x$ и $y$: $x = -y$.
Это означает, что любая пара чисел, где одно число является противоположным другому, является решением.
Ответ: все пары $(x; y)$ такие, что $x = -y$.

в) Исходное уравнение: $xy + 20 = 5x + 4y$.
Для решения перенесем все члены уравнения в одну сторону и выполним группировку:
$xy - 5x - 4y + 20 = 0$.
Сгруппируем первые два слагаемых и последние два и вынесем общие множители за скобки:
$x(y - 5) - 4(y - 5) = 0$.
Теперь можно вынести за скобку общий множитель $(y - 5)$:
$(x - 4)(y - 5) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $x - 4 = 0 \implies x = 4$. В этом случае $y$ может быть любым действительным числом.
2. $y - 5 = 0 \implies y = 5$. В этом случае $x$ может быть любым действительным числом.
Таким образом, решениями являются все пары, где либо $x=4$, либо $y=5$.
Ответ: все пары $(x; y)$ такие, что $x = 4$ (для любого $y$) или $y = 5$ (для любого $x$).

г) Исходное уравнение: $x\sqrt{y} - 3 = x - 3\sqrt{y}$.
Прежде всего, определим область допустимых значений. Так как в уравнении есть $\sqrt{y}$, должно выполняться условие $y \ge 0$.
Перегруппируем члены уравнения, собрав слагаемые с $\sqrt{y}$ в одной части, а остальные - в другой:
$x\sqrt{y} + 3\sqrt{y} = x + 3$.
В левой части вынесем $\sqrt{y}$ за скобки:
$\sqrt{y}(x + 3) = x + 3$.
Перенесем все члены в левую часть:
$\sqrt{y}(x + 3) - (x + 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x + 3)$ за скобки:
$(x + 3)(\sqrt{y} - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Это равенство будет верным для любого значения $y$ из области допустимых значений, то есть для любого $y \ge 0$.
2. $\sqrt{y} - 1 = 0 \implies \sqrt{y} = 1$. Возведя обе части в квадрат, получаем $y = 1$. Это равенство будет верным для любого действительного значения $x$.
Ответ: все пары $(x; y)$ такие, что $x = -3$ при $y \ge 0$, или $y = 1$ при любом $x$.