Номер 66, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 66, страница 23.

Условие.

66. Существуют ли двузначные натуральные числа, произведение цифр которых:

а) равно их сумме;

б) в 4 раза больше их суммы?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Обозначим цифру десятков двузначного натурального числа через $a$, а цифру единиц — через $b$. Тогда $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9. Сумма цифр числа равна $a+b$, а их произведение — $a \times b$.Согласно условию задачи, произведение цифр равно их сумме. Запишем это в виде уравнения:$a \times b = a + b$Чтобы найти целочисленные решения, выразим одну переменную через другую. Например, выразим $b$ через $a$:$ab - b = a$$b(a-1) = a$Поскольку $a$ является цифрой десятков, $a \ge 1$. Если предположить, что $a=1$, уравнение примет вид $b(1-1)=1$, то есть $0=1$, что является неверным равенством. Следовательно, $a \ne 1$.Так как $a \ne 1$, мы можем разделить обе части уравнения на $a-1$:$b = \frac{a}{a-1}$Чтобы упростить поиск решений, преобразуем дробь:$b = \frac{a-1+1}{a-1} = \frac{a-1}{a-1} + \frac{1}{a-1} = 1 + \frac{1}{a-1}$Для того чтобы $b$ было целым числом, выражение $\frac{1}{a-1}$ также должно быть целым. Это возможно только если знаменатель $a-1$ является делителем числа 1. Целыми делителями 1 являются 1 и -1.Рассмотрим оба случая:1. Если $a-1 = 1$, то $a=2$. Подставив это значение в формулу для $b$, получаем $b = 1 + \frac{1}{1} = 2$. Мы нашли пару цифр $(a,b) = (2,2)$. Это соответствует двузначному числу 22. Проверим его: сумма цифр $2+2=4$, произведение цифр $2 \times 2 = 4$. Условие $4=4$ выполняется.2. Если $a-1 = -1$, то $a=0$. Это значение не подходит, так как $a$ — цифра десятков и должна быть не меньше 1.Таким образом, существует двузначное число, удовлетворяющее условию.
Ответ: Да, существуют. Например, число 22.

б) Используем те же обозначения, что и в пункте а). Условие, что произведение цифр в 4 раза больше их суммы, можно записать в виде уравнения:$a \times b = 4(a+b)$$ab = 4a + 4b$Выразим $b$ через $a$, чтобы найти целочисленные решения:$ab - 4b = 4a$$b(a-4) = 4a$Если предположить, что $a=4$, уравнение примет вид $b(4-4) = 4 \times 4$, то есть $0=16$, что неверно. Следовательно, $a \ne 4$.Так как $a \ne 4$, мы можем разделить обе части уравнения на $a-4$:$b = \frac{4a}{a-4}$Преобразуем это выражение, чтобы выделить целую часть:$b = \frac{4(a-4)+16}{a-4} = \frac{4(a-4)}{a-4} + \frac{16}{a-4} = 4 + \frac{16}{a-4}$Чтобы $b$ было целым числом, выражение $\frac{16}{a-4}$ должно быть целым. Это означает, что $a-4$ должно быть делителем числа 16.Делители числа 16: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm16$.При этом мы знаем, что $a$ — это цифра от 1 до 9. Следовательно, $a-4$ может принимать целые значения в диапазоне от $1-4=-3$ до $9-4=5$.Выберем те делители числа 16, которые попадают в этот диапазон: $\{-2, -1, 1, 2, 4\}$.Рассмотрим каждый из этих случаев:1. Если $a-4 = -2$, то $a=2$. Тогда $b = 4 + \frac{16}{-2} = 4 - 8 = -4$. Не является цифрой.2. Если $a-4 = -1$, то $a=3$. Тогда $b = 4 + \frac{16}{-1} = 4 - 16 = -12$. Не является цифрой.3. Если $a-4 = 1$, то $a=5$. Тогда $b = 4 + \frac{16}{1} = 20$. Не является цифрой.4. Если $a-4 = 2$, то $a=6$. Тогда $b = 4 + \frac{16}{2} = 12$. Не является цифрой.5. Если $a-4 = 4$, то $a=8$. Тогда $b = 4 + \frac{16}{4} = 4+4=8$. Мы нашли пару цифр $(a,b) = (8,8)$. Это соответствует числу 88. Проверим его: сумма цифр $8+8=16$, произведение цифр $8 \times 8=64$. Условие $64 = 4 \times 16$ выполняется.Следовательно, такое число существует.
Ответ: Да, существуют. Например, число 88.