Номер 61, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 61, страница 23.

Условие.

61. Постройте график уравнения:

а) $x^2 + y = 5;$

б) $xy = 15;$

в) $2y + 3x = 1;$

г) $x^2 + y^2 = 25.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Уравнение $x^2 + y = 5$ можно преобразовать к виду $y = 5 - x^2$ или $y = -x^2 + 5$. Это уравнение задает параболу. График этой функции получается из графика стандартной параболы $y = -x^2$ (ветви которой направлены вниз) путем сдвига вверх вдоль оси $Oy$ на 5 единиц.
Вершина параболы находится в точке $(0; 5)$.
Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:
если $x = 0$, то $y = 5$;
если $x = 1$, то $y = -1^2 + 5 = 4$;
если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 + 5 = 4$;
если $x = 2$, то $y = -2^2 + 5 = 1$;
если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 + 5 = 1$.
Отметив эти точки $(0; 5)$, $(1; 4)$, $(-1; 4)$, $(2; 1)$, $(-2; 1)$ на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(0; 5)$, ветви которой направлены вниз.

б) Уравнение $xy = 15$ можно представить в виде функции $y = \frac{15}{x}$. Это уравнение задает гиперболу. Так как коэффициент $k=15$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами для этого графика.
Для построения найдем несколько точек для каждой ветви:
Для I четверти (где $x > 0$):
если $x = 1$, то $y = 15$;
если $x = 3$, то $y = 5$;
если $x = 5$, то $y = 3$;
если $x = 15$, то $y = 1$.
Для III четверти (где $x < 0$):
если $x = -1$, то $y = -15$;
если $x = -3$, то $y = -5$;
если $x = -5$, то $y = -3$;
если $x = -15$, то $y = -1$.
Построив эти точки и соединив их двумя плавными кривыми, асимптотически приближающимися к осям координат, получим график гиперболы.
Ответ: Графиком уравнения является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

в) Уравнение $2y + 3x = 1$ является линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.
Выразим $y$ через $x$:
$2y = 1 - 3x$
$y = \frac{1 - 3x}{2}$ или $y = -1.5x + 0.5$.
Найдем две точки:
1. Пусть $x = 1$. Тогда $y = \frac{1 - 3 \cdot 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Получаем точку $(1; -1)$.
2. Пусть $x = -1$. Тогда $y = \frac{1 - 3 \cdot (-1)}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Получаем точку $(-1; 2)$.
Проведя через точки $(1; -1)$ и $(-1; 2)$ прямую, мы получим график данного уравнения.
Ответ: Графиком уравнения является прямая линия.

г) Уравнение $x^2 + y^2 = 25$ является каноническим уравнением окружности. Стандартный вид уравнения окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ выглядит так: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.
В нашем случае уравнение можно записать как $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 5^2$.
Отсюда видно, что:
1. Центр окружности находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
2. Радиус окружности $R = 5$.
Для построения графика нужно начертить окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом 5. Эта окружность будет пересекать оси координат в точках $(5; 0)$, $(-5; 0)$, $(0; 5)$ и $(0; -5)$.
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 5.