Номер 68, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 68, страница 24.

Условие.

68. Одним из решений уравнения $x^2 - y^2 = 72$ является пара чисел $(m; n)$, где $m$ и $n$ соответственно равны количеству самых больших озер, полностью расположенных на территории Казахстана, площадь каждого из которых более $700 \text{ км}^2$, и самых длинных рек протяженностью не менее $800 \text{ км}$, протекающих по территории Казахстана. Найдите эти числа, если известно, что $12 < m+n < 20$.

Водная система Казахстана

Решение.

Решение 2 (rus).

Согласно условию задачи, пара чисел $(m; n)$ является решением уравнения $x^2 - y^2 = 72$. Следовательно, для этих чисел выполняется равенство $m^2 - n^2 = 72$. Также дано дополнительное условие: $12 < m + n < 20$. Числа $m$ и $n$ являются натуральными, так как они представляют собой количество географических объектов (озер и рек).

Решение уравнения

Для нахождения натуральных решений $m$ и $n$ разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов:

$(m - n)(m + n) = 72$

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, то множители $(m - n)$ и $(m + n)$ являются целыми числами. Так как $m, n > 0$, то $m+n > 0$. Из уравнения следует, что и $m-n$ должно быть положительным, а значит $m > n$.

Пусть $a = m - n$ и $b = m + n$. Тогда $ab = 72$, причем $a$ и $b$ — натуральные числа и $b > a$.

Выразим $m$ и $n$ через $a$ и $b$:

$m = \frac{a+b}{2}$

$n = \frac{b-a}{2}$

Чтобы $m$ и $n$ были целыми, суммы $a+b$ и $b-a$ должны быть четными. Это возможно только если числа $a$ и $b$ имеют одинаковую четность. Поскольку их произведение $ab = 72$ (четное число), они не могут быть оба нечетными. Следовательно, оба числа $a$ и $b$ должны быть четными.

Поиск возможных пар чисел

Найдем все пары четных делителей числа 72, удовлетворяющих условию $a < b$:

Пара 1: $a=2, b=36$.

Пара 2: $a=4, b=18$.

Пара 3: $a=6, b=12$.

Теперь для каждой пары $(a, b)$ вычислим соответствующие значения $(m, n)$ и проверим выполнение условия $12 < m+n < 20$.

Проверка найденных пар

1. Для пары $(a, b) = (2, 36)$:

$m = \frac{2+36}{2} = 19$

$n = \frac{36-2}{2} = 17$

Проверяем сумму: $m+n = 19+17 = 36$. Это значение не удовлетворяет неравенству $12 < 36 < 20$.

2. Для пары $(a, b) = (4, 18)$:

$m = \frac{4+18}{2} = 11$

$n = \frac{18-4}{2} = 7$

Проверяем сумму: $m+n = 11+7 = 18$. Это значение удовлетворяет неравенству $12 < 18 < 20$. Эта пара является решением.

3. Для пары $(a, b) = (6, 12)$:

$m = \frac{6+12}{2} = 9$

$n = \frac{12-6}{2} = 3$

Проверяем сумму: $m+n = 9+3 = 12$. Это значение не удовлетворяет строгому неравенству $12 < 12 < 20$.

Таким образом, единственная пара чисел, которая удовлетворяет всем математическим условиям, — это $m=11$ и $n=7$. Эти числа и являются искомыми, где $m$ — количество озер, а $n$ — количество рек, согласно условию задачи.

Ответ: $m=11, n=7$.