Номер 69, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 69, страница 24.

Условие.

69. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют соотношению:

a) $|y-x|=2;

б) $|y|-|x|=2;

в) $|x|+|y|=2;

г) $|y|=4-x^2;

д) $|y|=x^2-4x+3;

е) $y^2=2x.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Уравнение $|y-x| = 2$ по определению модуля равносильно совокупности двух уравнений: $y - x = 2$, что можно переписать как $y = x + 2$, и $y - x = -2$, что можно переписать как $y = x - 2$. Каждое из этих уравнений задает прямую линию на координатной плоскости. Прямая $y = x + 2$ параллельна биссектрисе первого и третьего координатных углов ($y=x$) и сдвинута на 2 единицы вверх по оси OY. Прямая $y = x - 2$ также параллельна прямой $y=x$ и сдвинута на 2 единицы вниз по оси OY.
Ответ: Множество точек представляет собой две параллельные прямые, заданные уравнениями $y = x + 2$ и $y = x - 2$.

б) Перепишем уравнение в виде $|y| = |x| + 2$. Поскольку $|y| \ge 0$, то и $|x|+2$ должно быть неотрицательным, что выполняется для любого $x$. Также из уравнения следует, что $|y| \ge 2$, то есть $y \ge 2$ или $y \le -2$. Раскроем модули, рассмотрев четыре случая для разных координатных четвертей.1) При $x \ge 0, y \ge 0$ (I четверть): $y - x = 2 \implies y = x + 2$. Это луч, выходящий из точки $(0, 2)$ вправо-вверх.2) При $x < 0, y \ge 0$ (II четверть): $y - (-x) = 2 \implies y = -x + 2$. Это луч, выходящий из точки $(0, 2)$ влево-вверх.3) При $x < 0, y < 0$ (III четверть): $-y - (-x) = 2 \implies y = x - 2$. Это луч, выходящий из точки $(0, -2)$ влево-вниз.4) При $x \ge 0, y < 0$ (IV четверть): $-y - x = 2 \implies y = -x - 2$. Это луч, выходящий из точки $(0, -2)$ вправо-вниз.
Ответ: График состоит из двух V-образных фигур. Верхняя имеет вершину в точке $(0, 2)$ и образована лучами $y = x+2$ (при $x \ge 0$) и $y = -x+2$ (при $x < 0$). Нижняя имеет вершину в точке $(0, -2)$ и образована лучами $y = x-2$ (при $x < 0$) и $y = -x-2$ (при $x \ge 0$).

в) Раскроем модули, рассмотрев четыре случая для разных координатных четвертей.1) При $x \ge 0, y \ge 0$ (I четверть): $x + y = 2 \implies y = -x + 2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.2) При $x < 0, y \ge 0$ (II четверть): $-x + y = 2 \implies y = x + 2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$.3) При $x < 0, y < 0$ (III четверть): $-x - y = 2 \implies y = -x - 2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -2)$ и $(-2, 0)$.4) При $x \ge 0, y < 0$ (IV четверть): $x - y = 2 \implies y = x - 2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(2, 0)$ и $(0, -2)$.
Ответ: Множество точек является квадратом с вершинами в точках $(2, 0)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.

г) Так как $|y| \ge 0$, то должно выполняться условие $4 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 4$, или $-2 \le x \le 2$. Таким образом, график существует только в этой области по оси $x$. Уравнение $|y| = 4 - x^2$ равносильно совокупности двух уравнений:1) $y = 4 - x^2$ (для $y \ge 0$). Это дуга параболы с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 4)$, расположенная между точками $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.2) $y = -(4 - x^2) = x^2 - 4$ (для $y \le 0$). Это дуга параболы с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -4)$, расположенная между точками $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
Ответ: График представляет собой замкнутую фигуру, образованную двумя дугами парабол, соединяющимися в точках $(-2,0)$ и $(2,0)$. Верхняя дуга - часть параболы $y = 4-x^2$, нижняя - часть параболы $y = x^2-4$.

д) Из уравнения $|y| = x^2 - 4x + 3$ следует, что правая часть должна быть неотрицательной: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$. Разложив на множители, получим $(x-1)(x-3) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$. График существует только в этих областях. Уравнение равносильно совокупности:1) $y = x^2 - 4x + 3$. Это части параболы с ветвями вверх, лежащие в области $x \le 1$ и $x \ge 3$.2) $y = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3$. Это части параболы с ветвями вниз, лежащие в той же области $x \le 1$ и $x \ge 3$.
Ответ: График состоит из четырех ветвей. Две ветви параболы $y = x^2-4x+3$, начинающиеся в точках $(1,0)$ и $(3,0)$ и уходящие вверх. И две ветви параболы $y = -x^2+4x-3$, начинающиеся в тех же точках и уходящие вниз.

е) Уравнение $y^2 = 2x$ определяет параболу. Так как $y^2 \ge 0$, то и $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Парабола расположена в правой полуплоскости. Осью симметрии является ось $Ox$, так как если точка $(x, y)$ принадлежит графику, то и точка $(x, -y)$ также ему принадлежит ($(-y)^2 = y^2 = 2x$). Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вправо вдоль положительного направления оси $Ox$. Уравнение можно представить в виде совокупности двух функций $y = \sqrt{2x}$ (верхняя ветвь) и $y = -\sqrt{2x}$ (нижняя ветвь).
Ответ: Графиком является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$, симметричная относительно оси $Ox$ и с ветвями, направленными вправо.