Номер 62, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

62. Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел, которая является решением уравнения:

а) $x^2 + y^2 - (xy)^2 = 1$;

б) $(x - y\sqrt{2})(x + y\sqrt{2}) = 1$;

в) $m^n = n^m$.

а) $x^2 + y^2 - (xy)^2 = 1$

• Перепишем уравнение: $x^2 + y^2 - x^2y^2 - 1 = 0$.
• Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 1) - y^2(x^2 - 1) = 0$.
• Вынесем общий множитель: $(x^2 - 1)(1 - y^2) = 0$.
• Произведение равно нулю, если $x^2 = 1$ или $y^2 = 1$.
• Так как числа должны быть натуральными ($x, y \in \mathbb{N}$), то подходит пара, где одно из чисел равно 1, а второе — любое натуральное число. Например, $x = 1, y = 5$. Проверка: $1^2 + 5^2 - (1 \cdot 5)^2 = 1 + 25 - 25 = 1$.

Ответ: (1; 5) или любая пара (1; n) или (n; 1), где n — натуральное число.

б) $(x - y\sqrt{2})(x + y\sqrt{2}) = 1$

• Применим формулу разности квадратов: $x^2 - (y\sqrt{2})^2 = 1$.
• Упростим: $x^2 - 2y^2 = 1$. Это частный случай уравнения Пелля.
• Подберем минимальные натуральные значения. Если $y = 1$, то $x^2 - 2 = 1 \implies x^2 = 3$ (нет натуральных корней).
• Если $y = 2$, то $x^2 - 2(4) = 1 \implies x^2 - 8 = 1 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$.
• Пара (3; 2) является решением: $3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 8 = 1$.

Ответ: (3; 2).

в) $m^n = n^m$

• Очевидным решением для любого натурального числа является случай $m = n$ (например, $2^2 = 2^2$).
• Если искать различные натуральные числа ($m \neq n$), то самым известным решением является пара (2; 4).
• Проверка: $2^4 = 16$ и $4^2 = 16$.

Ответ: (2; 4) или (3; 3).