Номер 62, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 62, страница 23.

Условие.

62. Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел, которая является решением уравнения:

а) $x^2 + y^2 - (xy)^2 = 1$;

б) $(x - y\sqrt{2})(x + y\sqrt{2}) = 1$;

в) $m^n = n^m$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Ищем пару натуральных чисел $(x, y)$, удовлетворяющую уравнению $x^2 + y^2 - (xy)^2 = 1$. Попробуем подставить простые натуральные числа. Пусть $x = 1$. Тогда уравнение примет вид: $1^2 + y^2 - (1 \cdot y)^2 = 1$, что упрощается до $1 + y^2 - y^2 = 1$, и мы получаем верное равенство $1 = 1$ для любого натурального числа $y$. Таким образом, любая пара вида $(1, y)$, где $y$ — натуральное число, является решением. Аналогично, если $y=1$, то любая пара $(x, 1)$, где $x$ — натуральное число, также является решением. Возьмем простейшую пару, где $x=1$ и $y=1$. Проверим: $1^2 + 1^2 - (1 \cdot 1)^2 = 1 + 1 - 1 = 1$. Равенство выполняется.
Ответ: $(1, 1)$.

б) Ищем пару натуральных чисел $(x, y)$, удовлетворяющую уравнению $(x - y\sqrt{2})(x + y\sqrt{2}) = 1$. Упростим левую часть уравнения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Получим: $x^2 - (y\sqrt{2})^2 = 1$, что эквивалентно $x^2 - 2y^2 = 1$. Это уравнение является уравнением Пелля. Будем искать его решение в натуральных числах методом подбора. Перепишем уравнение в виде $x^2 = 1 + 2y^2$.
- Если $y=1$, то $x^2 = 1 + 2 \cdot 1^2 = 3$. Нет натурального решения для $x$.
- Если $y=2$, то $x^2 = 1 + 2 \cdot 2^2 = 1 + 2 \cdot 4 = 9$. Отсюда $x=3$, так как $x$ — натуральное число.
Мы нашли пару $(x, y) = (3, 2)$. Проверим: $3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 8 = 1$. Равенство выполняется.
Ответ: $(3, 2)$.

в) Ищем пару натуральных чисел $(m, n)$, удовлетворяющую уравнению $m^n = n^m$. Очевидно, что любая пара $(k, k)$, где $k$ — натуральное число, является решением. Попробуем найти нетривиальное решение, где $m \neq n$. Преобразуем уравнение, взяв от обеих частей корень степени $mn$: $(m^n)^{\