Номер 67, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 67, страница 24.

Условие.

67. Разность квадратов каких двух натуральных чисел равна 133? (Пример, устно решенный феноменальным французским вычислителем Анри Монде в 1840 году в школьном возрасте).

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$, причем $x > y$. Согласно условию задачи, разность их квадратов равна 133. Это можно записать в виде уравнения:$x^2 - y^2 = 133$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, преобразуем уравнение:$(x - y)(x + y) = 133$

Поскольку $x$ и $y$ являются натуральными числами, то $(x - y)$ и $(x + y)$ также являются натуральными числами. При этом $x + y > x - y$. Это означает, что нам нужно найти все пары натуральных делителей числа 133.

Разложим число 133 на простые множители:$133 = 7 \cdot 19$

Таким образом, существуют две пары делителей числа 133: (1, 133) и (7, 19). Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Делители 1 и 133

Составим систему уравнений, где меньший множитель $(x-y)$ равен 1, а больший $(x+y)$ равен 133:$\begin{cases}x - y = 1 \\x + y = 133\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:$(x - y) + (x + y) = 1 + 133$$2x = 134$$x = 67$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:$67 + y = 133$$y = 133 - 67$$y = 66$

Мы нашли первую пару натуральных чисел (67 и 66), которая удовлетворяет условию. Проверка: $67^2 - 66^2 = (67 - 66)(67 + 66) = 1 \cdot 133 = 133$.Ответ: 67 и 66.

Случай 2: Делители 7 и 19

Составим систему уравнений для второй пары делителей:$\begin{cases}x - y = 7 \\x + y = 19\end{cases}$

Сложим уравнения системы:$(x - y) + (x + y) = 7 + 19$$2x = 26$$x = 13$

Найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:$13 + y = 19$$y = 19 - 13$$y = 6$

Мы нашли вторую пару натуральных чисел (13 и 6), которая также удовлетворяет условию. Проверка: $13^2 - 6^2 = 169 - 36 = 133$.Ответ: 13 и 6.