Номер 71, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 71, страница 25.

Условие.

71. Постройте на координатной плоскости множество всех точек, координаты $(x; y)$ которых являются решениями уравнения:

а) $(x^2 - 16)^2 + (y^2 - 25)^2 = 0;$

б) $x^2 - 2x + y^2 - 8 = 0;$

в) $x^3 - y^3 + x^2y - xy^2 = 0;$

г) $2x^3 - 2x^2y + y^2 - xy = 0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $(x^2 - 16)^2 + (y^2 - 25)^2 = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Сумма двух неотрицательных величин равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из них равна нулю. Таким образом, мы можем записать систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 16 = 0 \\ y^2 - 25 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Решим второе уравнение системы:

$y^2 - 25 = 0$

$y^2 = 25$

$y_1 = 5$, $y_2 = -5$

Решениями исходного уравнения являются все возможные комбинации полученных значений $x$ и $y$. Это приводит к четырем точкам на координатной плоскости:

$(4; 5)$, $(4; -5)$, $(-4; 5)$, $(-4; -5)$.

Ответ: Множество точек на координатной плоскости состоит из четырех точек с координатами $(4; 5)$, $(4; -5)$, $(-4; 5)$ и $(-4; -5)$.

---

б) $x^2 - 2x + y^2 - 8 = 0$

Преобразуем данное уравнение, выделив полный квадрат для переменной $x$. Для этого сгруппируем члены, содержащие $x$:

$(x^2 - 2x) + y^2 - 8 = 0$

Чтобы получить полный квадрат $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$, нам нужно добавить и вычесть 1:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 - 8 = 0$

Теперь сворачиваем полный квадрат и упрощаем выражение:

$(x - 1)^2 + y^2 - 9 = 0$

$(x - 1)^2 + y^2 = 9$

Это каноническое уравнение окружности вида $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, где $(h; k)$ — координаты центра, а $r$ — радиус.

В нашем случае центр окружности находится в точке $(1; 0)$, а радиус равен $r = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Множество точек является окружностью с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $3$.

---

в) $x^3 - y^3 + x^2y - xy^2 = 0$

Для решения этого уравнения разложим его левую часть на множители. Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - y^3) + (x^2y - xy^2) = 0$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для первой группы и вынесем общий множитель $xy$ во второй группе:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) + xy(x - y) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 + xy) = 0$

$(x - y)(x^2 + 2xy + y^2) = 0$

Выражение во второй скобке является полным квадратом суммы $(x+y)^2$:

$(x - y)(x + y)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:

1) $x - y = 0 \implies y = x$

2) $(x + y)^2 = 0 \implies x + y = 0 \implies y = -x$

Первое уравнение задает прямую, являющуюся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Второе уравнение задает прямую, являющуюся биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Ответ: Множество точек представляет собой объединение двух прямых: $y = x$ и $y = -x$.

---

г) $2x^3 - 2x^2y + y^2 - xy = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(2x^3 - 2x^2y) + (y^2 - xy) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $2x^2$, из второй — $-y$ (чтобы получить в скобках одинаковое выражение):

$2x^2(x - y) - y(x - y) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(2x^2 - y) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая:

1) $x - y = 0 \implies y = x$

2) $2x^2 - y = 0 \implies y = 2x^2$

Первое уравнение $y = x$ задает прямую линию, проходящую через начало координат.

Второе уравнение $y = 2x^2$ задает параболу с вершиной в начале координат $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Следовательно, искомое множество точек — это объединение этой прямой и этой параболы.

Ответ: Множество точек является объединением прямой $y = x$ и параболы $y = 2x^2$.