Номер 78, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 78, страница 25.

Условие.

78. Постройте на координатной плоскости множество всех точек, координаты $(x; y)$ которых являются решениями уравнения:

a) $(x-y)^2 = 2x + 2y - x^2 - y^2 - 2$; в) $2x^2 + 5xy - 12y^2 = 0$;

б) $\frac{x^2 - y^2}{x - y} = \frac{x^2 + y^2}{x + y}$; г) $x^2 + y^2 = 6|y| + 16$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходное уравнение: $(x - y)^2 = 2x + 2y - x^2 - y^2 - 2$.

Раскроем скобки в левой части и перенесем все слагаемые из правой части в левую:
$x^2 - 2xy + y^2 = 2x + 2y - x^2 - y^2 - 2$
$x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 2y + x^2 + y^2 + 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x - 2y + 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 = 0$

Чтобы упростить это уравнение, умножим его снова на 2 и сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты:
$2x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x - 2y + 2 = 0$
$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 0$

Теперь мы можем свернуть каждую группу в полный квадрат:
$(x - y)^2 + (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$

Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$x - y = 0$
$x - 1 = 0$
$y - 1 = 0$

Из второго и третьего уравнений находим, что $x=1$ и $y=1$. Эти значения удовлетворяют и первому уравнению: $1 - 1 = 0$.Следовательно, решением является единственная точка с координатами $(1; 1)$.

Ответ: Множество точек является единственной точкой $(1; 1)$.

б) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - y^2}{x - y} = \frac{x^2 + y^2}{x + y}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$x - y \neq 0 \Rightarrow x \neq y$
$x + y \neq 0 \Rightarrow x \neq -y$

Это означает, что искомое множество точек не может лежать на прямых $y=x$ и $y=-x$.

Упростим левую часть уравнения, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$\frac{(x - y)(x + y)}{x - y} = x + y$

Теперь уравнение принимает вид:
$x + y = \frac{x^2 + y^2}{x + y}$

Умножим обе части на $(x + y)$, так как по ОДЗ $x+y \neq 0$:
$(x + y)^2 = x^2 + y^2$
$x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2$

Вычтем $x^2 + y^2$ из обеих частей:
$2xy = 0$

Это уравнение выполняется, если $x = 0$ или $y = 0$. Геометрически это соответствует двум координатным осям: оси ординат (прямая $x=0$) и оси абсцисс (прямая $y=0$).

Теперь учтем ОДЗ. Точки, в которых $x=y$ или $x=-y$, должны быть исключены.
На прямой $x=0$ условие $x \neq y$ означает $0 \neq y$, а условие $x \neq -y$ означает $0 \neq -y$. Оба условия означают, что $y \neq 0$.
На прямой $y=0$ условие $x \neq y$ означает $x \neq 0$, а условие $x \neq -y$ означает $x \neq 0$.
В обоих случаях точка $(0; 0)$ должна быть исключена.

Ответ: Множество точек — это объединение координатных осей $x=0$ и $y=0$ за исключением точки их пересечения — начала координат $(0; 0)$.

в) Исходное уравнение: $2x^2 + 5xy - 12y^2 = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Разложим левую часть на множители. Для этого представим средний член $5xy$ в виде суммы $8xy - 3xy$:
$2x^2 + 8xy - 3xy - 12y^2 = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(2x^2 + 8xy) - (3xy + 12y^2) = 0$
$2x(x + 4y) - 3y(x + 4y) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x + 4y)$:
$(2x - 3y)(x + 4y) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $2x - 3y = 0 \Rightarrow 3y = 2x \Rightarrow y = \frac{2}{3}x$
2) $x + 4y = 0 \Rightarrow x = -4y \Rightarrow y = -\frac{1}{4}x$

Каждое из этих уравнений задает прямую, проходящую через начало координат.

Ответ: Множество точек — это пара прямых $y = \frac{2}{3}x$ и $y = -\frac{1}{4}x$, пересекающихся в начале координат.

г) Исходное уравнение: $x^2 + y^2 = 6|y| + 16$.

Наличие модуля $|y|$ требует рассмотрения двух случаев.

Случай 1: $y \ge 0$
В этом случае $|y| = y$, и уравнение принимает вид:
$x^2 + y^2 = 6y + 16$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть и выделим полный квадрат:
$x^2 + y^2 - 6y = 16$
$x^2 + (y^2 - 6y + 9) = 16 + 9$
$x^2 + (y - 3)^2 = 25$
$x^2 + (y - 3)^2 = 5^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0; 3)$ и радиусом $R=5$. Мы должны взять только ту часть этой окружности, которая удовлетворяет условию $y \ge 0$. Эта часть представляет собой дугу, расположенную над осью абсцисс и на самой оси.

Случай 2: $y < 0$
В этом случае $|y| = -y$, и уравнение принимает вид:
$x^2 + y^2 = 6(-y) + 16$
$x^2 + y^2 = -6y + 16$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть и выделим полный квадрат:
$x^2 + y^2 + 6y = 16$
$x^2 + (y^2 + 6y + 9) = 16 + 9$
$x^2 + (y + 3)^2 = 25$
$x^2 + (y + 3)^2 = 5^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0; -3)$ и радиусом $R=5$. Мы должны взять только ту часть этой окружности, которая удовлетворяет условию $y < 0$. Эта часть представляет собой дугу, расположенную под осью абсцисс.

Объединяя оба случая, получаем фигуру, состоящую из двух дуг окружностей. Обе окружности проходят через точки, где $y=0$:
$x^2 + (0 - 3)^2 = 25 \Rightarrow x^2 + 9 = 25 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$.
Таким образом, обе дуги соединяются в точках $(-4; 0)$ и $(4; 0)$.

Ответ: Множество точек является объединением двух дуг окружностей:
1. Дуги окружности $x^2 + (y - 3)^2 = 25$ при $y \ge 0$.
2. Дуги окружности $x^2 + (y + 3)^2 = 25$ при $y < 0$.
Эти дуги образуют замкнутую кривую, симметричную относительно обеих координатных осей.