Вопросы, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - страница 30.

Условие.

1. Какие системы двух уравнений с двумя переменными считаются нелинейными?

2. Как можно решить любую систему двух уравнений с двумя переменными, в которой одно уравнение – линейное, а другое – второй степени?

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Какие системы двух уравнений с двумя переменными считаются нелинейными?

Система двух уравнений с двумя переменными считается нелинейной, если хотя бы одно из входящих в нее уравнений является нелинейным. Линейное уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ имеет общий вид $ax + by = c$, где $a$, $b$, и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

Соответственно, уравнение является нелинейным, если оно не может быть приведено к виду $ax + by = c$. Это происходит, когда:

• Хотя бы одна из переменных входит в уравнение в степени, отличной от первой (например, $x^2$, $y^3$).
• Уравнение содержит произведение переменных (например, $xy$).
• Переменная находится в знаменателе дроби (например, $\frac{1}{x}$).
• Переменная является аргументом нелинейной функции (например, $\sqrt{y}$, $\sin(x)$, $\log_2(y)$).

Таким образом, если в системе из двух уравнений хотя бы одно уравнение содержит такие элементы, вся система называется нелинейной.

Пример 1: одно уравнение линейное, другое — нет.

$$ \begin{cases} 2x - y = 3 & \text{(линейное)} \\ x^2 + y = 5 & \text{(нелинейное)} \end{cases} $$

Эта система является нелинейной, так как второе уравнение содержит $x$ во второй степени.

Пример 2: оба уравнения нелинейные.

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} $$

Эта система также является нелинейной.

Ответ: Системы двух уравнений с двумя переменными считаются нелинейными, если по крайней мере одно из уравнений системы не является линейным, то есть не может быть представлено в виде $ax + by = c$.

2. Как можно решить любую систему двух уравнений с двумя переменными, в которой одно уравнение — линейное, а другое — второй степени?

Любую такую систему можно решить универсальным методом — методом подстановки. Этот метод заключается в следующем:

Шаг 1: Выразить одну переменную через другую.

Из линейного уравнения (вида $ax + by = c$) нужно выразить одну переменную через другую. Например, выразить $y$ через $x$: $y = \frac{c - ax}{b}$ (если $b \neq 0$). Для удобства вычислений лучше выбирать ту переменную, коэффициент при которой равен 1 или -1, чтобы избежать дробей.

Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение.

Полученное на первом шаге выражение для одной переменной подставляется в уравнение второй степени. В результате получается уравнение с одной переменной.

Шаг 3: Решить полученное уравнение.

После подстановки уравнение второй степени превратится в квадратное уравнение относительно оставшейся переменной (например, вида $px^2 + qx + r = 0$). Это уравнение решается стандартным способом, например, через дискриминант. В результате можно получить два, один или ни одного корня.

Шаг 4: Найти значение второй переменной.

Каждый найденный на третьем шаге корень подставляется в выражение, полученное на первом шаге. Таким образом, для каждого значения одной переменной находится соответствующее значение второй переменной.

Шаг 5: Записать ответ.

Решения системы записываются в виде пар чисел $(x, y)$.

Рассмотрим на примере:

$$ \begin{cases} x - 2y = 3 & \text{(линейное)} \\ x^2 - 3xy + y^2 = -1 & \text{(второй степени)} \end{cases} $$

Шаг 1: Из первого (линейного) уравнения выразим $x$: $x = 3 + 2y$.

Шаг 2: Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$(3 + 2y)^2 - 3(3 + 2y)y + y^2 = -1$

Шаг 3: Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$(9 + 12y + 4y^2) - (9y + 6y^2) + y^2 = -1$

$9 + 12y + 4y^2 - 9y - 6y^2 + y^2 = -1$

Приведем подобные слагаемые:

$(4y^2 - 6y^2 + y^2) + (12y - 9y) + 9 = -1$

$-y^2 + 3y + 9 = -1$

$-y^2 + 3y + 10 = 0$

$y^2 - 3y - 10 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

$y_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3+7}{2} = 5$

$y_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3-7}{2} = -2$

Шаг 4: Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 3 + 2y_1 = 3 + 2 \cdot 5 = 3 + 10 = 13$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 3 + 2y_2 = 3 + 2 \cdot (-2) = 3 - 4 = -1$.

Шаг 5: Записываем ответ.

Ответ: Систему, в которой одно уравнение линейное, а другое — второй степени, можно решить методом подстановки: из линейного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение в уравнение второй степени, получая квадратное уравнение с одной переменной, которое затем решают. Решениями исходной системы являются пары чисел $(13, 5)$ и $(-1, -2)$.