Номер 82, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 82, страница 30.

Условие.

82. a) Сумма двух чисел равна 38, а $\frac{3}{4}$ большего числа составляет $\frac{5}{6}$ меньшего. Найдите эти числа.
б) Исследуйте, существуют ли два числа, разность которых равна 7, а произведение равно 8.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Пусть большее число равно $x$, а меньшее число равно $y$. Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

$x + y = 38$

$\frac{3}{4}x = \frac{5}{6}y$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 38 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{3}{4}x = \frac{5}{6}(38 - x)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 6, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{3}{4}x = 12 \cdot \frac{5}{6}(38 - x)$

$3 \cdot 3x = 2 \cdot 5(38 - x)$

$9x = 10(38 - x)$

$9x = 380 - 10x$

$9x + 10x = 380$

$19x = 380$

$x = \frac{380}{19}$

$x = 20$

Теперь найдем $y$, подставив найденное значение $x$:

$y = 38 - 20$

$y = 18$

Таким образом, большее число равно 20, а меньшее — 18. Проверим второе условие: $\frac{3}{4}$ от 20 это $\frac{3}{4} \cdot 20 = 15$. $\frac{5}{6}$ от 18 это $\frac{5}{6} \cdot 18 = 15$. Условие $15 = 15$ выполняется.

Ответ: 20 и 18.

б) Пусть искомые числа равны $a$ и $b$. По условию, их разность равна 7, а произведение равно 8. Запишем это в виде системы уравнений:

$a - b = 7$

$a \cdot b = 8$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 7 + b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(7 + b) \cdot b = 8$

$7b + b^2 = 8$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $Ax^2+Bx+C=0$:

$b^2 + 7b - 8 = 0$

Чтобы определить, существуют ли действительные решения этого уравнения (а значит, и искомые числа), найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=1$, $B=7$, $C=-8$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

Поскольку дискриминант $D = 81 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что такие два числа существуют.

При необходимости мы можем найти эти числа. Корни уравнения для $b$ вычисляются по формуле $b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$b = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 9}{2}$

Получаем два решения: $b_1 = \frac{-7+9}{2} = 1$ и $b_2 = \frac{-7-9}{2} = -8$.

Соответствующие значения для $a$: $a_1 = 7 + 1 = 8$ и $a_2 = 7 + (-8) = -1$.

Существуют две пары таких чисел: (8; 1) и (-1; -8).

Ответ: Да, такие числа существуют.