Номер 83, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 83, страница 30.

Условие.

83. Решите графически систему уравнений:

а)

$\begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + y^2 = 9; \end{cases}$

б)

$\begin{cases} y - x = 1, \\ y = -(x - 1)^2 + 4; \end{cases}$

в)

$\begin{cases} y = (x - 1)^2 + 2, \\ xy = 2; \end{cases}$

г)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для решения системы уравнений $\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases}$ графически, построим графики каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Первое уравнение, $x + y = 3$, можно переписать в виде $y = 3 - x$. Это уравнение прямой линии. Для её построения достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 3$ (точка $(0, 3)$), и если $y = 0$, то $x = 3$ (точка $(3, 0)$).

Второе уравнение, $x^2 + y^2 = 9$, является уравнением окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Теперь построим оба графика. Прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом 3 также проходит через эти две точки. Точки пересечения графиков и являются решениями системы. В данном случае это точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

Ответ: $(0, 3), (3, 0)$.

б)

Рассмотрим систему $\begin{cases} y - x = 1 \\ y = -(x - 1)^2 + 4 \end{cases}$.

Первое уравнение, $y - x = 1$, преобразуется к виду $y = x + 1$. Это уравнение прямой линии. Построим её по двум точкам: если $x = 0$, то $y = 1$ (точка $(0, 1)$), и если $x = 2$, то $y = 3$ (точка $(2, 3)$).

Второе уравнение, $y = -(x - 1)^2 + 4$, является уравнением параболы. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при скобке в квадрате отрицателен. Вершина параболы находится в точке $(1, 4)$.

Найдём точки пересечения графиков. Из графиков видно, что прямая и парабола пересекаются в двух точках. Графически можно определить, что одна из точек пересечения — $(-1, 0)$, так как $y(-1) = -1 + 1 = 0$ для прямой и $y(-1) = -(-1 - 1)^2 + 4 = -(-2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$ для параболы. Другая точка пересечения — $(2, 3)$, так как $y(2) = 2 + 1 = 3$ для прямой и $y(2) = -(2 - 1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$ для параболы.

Следовательно, точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(2, 3)$.

Ответ: $(-1, 0), (2, 3)$.

в)

Рассмотрим систему $\begin{cases} y = (x - 1)^2 + 2 \\ xy = 2 \end{cases}$.

Первое уравнение, $y = (x - 1)^2 + 2$, задаёт параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(1, 2)$. Минимальное значение $y$ для этой параболы равно 2.

Второе уравнение, $xy = 2$, можно записать как $y = 2/x$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах.

Построим графики. Парабола имеет вершину в точке $(1, 2)$ и проходит через точки $(0, 3)$ и $(2, 3)$. Гипербола проходит через точки $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(-1, -2)$ и $(-2, -1)$.

Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке — вершине параболы $(1, 2)$, которая также лежит на гиперболе (так как $1 \cdot 2 = 2$). Поскольку все точки параболы имеют ординату $y \ge 2$, а точки гиперболы в первой четверти при $x > 1$ имеют ординату $y < 2$, других пересечений в первой четверти нет. В третьей четверти пересечений нет, так как парабола целиком лежит выше оси абсцисс. Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(1, 2)$.

г)

Рассмотрим систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases}$.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, является уравнением окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение, $xy = 12$, или $y = 12/x$, является уравнением гиперболы с ветвями в первом и третьем квадрантах.

Построим графики на одной координатной плоскости. Окружность радиуса 5 проходит через точки $(5, 0)$, $(0, 5)$, $(-5, 0)$, $(0, -5)$. Гипербола проходит, например, через точки $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(-3, -4)$ и $(-4, -3)$.

Заметим, что точки $(3, 4)$ и $(4, 3)$ лежат на гиперболе. Проверим, лежат ли они на окружности: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Да, лежат. Аналогично, точки $(-3, -4)$ и $(-4, -3)$ лежат на гиперболе. Проверим их для окружности: $(-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$. Они также лежат на окружности. Графики пересекаются в четырех точках.

Ответ: $(3, 4), (4, 3), (-3, -4), (-4, -3)$.