Номер 90, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 90, страница 31.

Условие.

90. Найдите два натуральных числа, отношение которых равно 3, а отношение суммы их квадратов к их сумме равно 5 (древнегреческая задача Диофанта).

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$.

Согласно первому условию задачи, отношение этих чисел равно 3. Предположим, что $x$ — большее число. Тогда мы можем составить первое уравнение:
$\frac{x}{y} = 3$
Из этого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 3y$

Согласно второму условию, отношение суммы их квадратов к их сумме равно 5. Это можно записать в виде второго уравнения:
$\frac{x^2 + y^2}{x + y} = 5$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений. Для ее решения подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$\frac{(3y)^2 + y^2}{3y + y} = 5$

Упростим полученное уравнение и решим его относительно $y$:
$\frac{9y^2 + y^2}{4y} = 5$
$\frac{10y^2}{4y} = 5$
Поскольку $y$ по условию является натуральным числом, то $y \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $y$:
$\frac{10y}{4} = 5$
Теперь найдем $y$:
$10y = 5 \times 4$
$10y = 20$
$y = \frac{20}{10}$
$y = 2$

Зная значение $y$, мы можем найти $x$, используя уравнение $x = 3y$:
$x = 3 \times 2$
$x = 6$

Таким образом, искомые натуральные числа — это 6 и 2. Выполним проверку:
1. Отношение чисел: $\frac{6}{2} = 3$. Условие выполняется.
2. Отношение суммы квадратов к сумме: $\frac{6^2 + 2^2}{6 + 2} = \frac{36 + 4}{8} = \frac{40}{8} = 5$. Условие также выполняется.

Ответ: 6 и 2.