Номер 96, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 96, страница 32.

Условие.

96. Проведите исследование и найдите все пары целых чисел (m; n), являющиеся решениями системы уравнений:

a) $$\\begin{cases} m^2 + mn + n^2 = 13, \\\\ m^2 - mn + n^2 = 7; \\end{cases}$$

б) $$\\begin{cases} m^2 + n = 3, \\\\ m + n^2 = 3; \\end{cases}$$

в) $$\\begin{cases} m + n^2 = 37, \\\\ m^2 + n = 7. \\end{cases}$$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дана система уравнений:$\begin{cases}m^2 + mn + n^2 = 13, \\m^2 - mn + n^2 = 7.\end{cases}$
Для решения этой системы, мы можем сложить и вычесть уравнения друг из друга.
Сложим первое и второе уравнения:
$(m^2 + mn + n^2) + (m^2 - mn + n^2) = 13 + 7$
$2m^2 + 2n^2 = 20$
$m^2 + n^2 = 10$
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(m^2 + mn + n^2) - (m^2 - mn + n^2) = 13 - 7$
$2mn = 6$
$mn = 3$
Мы получили новую, более простую систему уравнений:$\begin{cases}m^2 + n^2 = 10, \\mn = 3.\end{cases}$
Поскольку $m$ и $n$ — целые числа, из уравнения $mn = 3$ следует, что возможны следующие пары $(m; n)$: $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(-1; -3)$ и $(-3; -1)$.
Проверим каждую из этих пар, подставив их в уравнение $m^2 + n^2 = 10$.
Для $(1; 3)$: $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. Верно.
Для $(3; 1)$: $3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$. Верно.
Для $(-1; -3)$: $(-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$. Верно.
Для $(-3; -1)$: $(-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$. Верно.
Все четыре пары являются решениями системы.
Ответ: $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(-1; -3)$, $(-3; -1)$.

б) Дана система уравнений:$\begin{cases}m^2 + n = 3, \\m + n^2 = 3.\end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(m^2 + n) - (m + n^2) = 3 - 3$
$m^2 - n^2 - m + n = 0$
$(m-n)(m+n) - (m-n) = 0$
$(m-n)(m+n-1) = 0$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $m-n = 0 \implies m = n$.
Подставим $m=n$ в первое уравнение системы:
$m^2 + m = 3 \implies m^2 + m - 3 = 0$.
Дискриминант этого квадратного уравнения $D = 1^2 - 4(1)(-3) = 13$. Так как $D$ не является полным квадратом, корни уравнения не являются целыми числами. Следовательно, в этом случае целочисленных решений нет.
2) $m+n-1 = 0 \implies m = 1-n$.
Подставим $m = 1-n$ в первое уравнение системы:
$(1-n)^2 + n = 3$
$1 - 2n + n^2 + n = 3$
$n^2 - n - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Его корнями являются $n_1=2$ и $n_2=-1$. Оба корня целые.
Найдем соответствующие значения $m$:
Если $n=2$, то $m = 1-2 = -1$. Получаем пару $(-1; 2)$.
Если $n=-1$, то $m = 1-(-1) = 2$. Получаем пару $(2; -1)$.
Проверим найденные пары:
Для $(-1; 2)$: $(-1)^2+2=3$ и $-1+2^2=3$. Верно.
Для $(2; -1)$: $2^2+(-1)=3$ и $2+(-1)^2=3$. Верно.
Ответ: $(-1; 2)$, $(2; -1)$.

в) Дана система уравнений:$\begin{cases}m + n^2 = 37, \\m^2 + n = 7.\end{cases}$
Выразим $n$ из второго уравнения: $n = 7 - m^2$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$m + (7 - m^2)^2 = 37$
$m + 49 - 14m^2 + m^4 = 37$
$m^4 - 14m^2 + m + 12 = 0$
Мы получили уравнение четвертой степени относительно $m$. Если у этого уравнения есть целые корни, то они должны быть делителями свободного члена, то есть числа 12.
Возможные целые корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.
Проверим эти значения:
При $m=1$: $1^4 - 14(1^2) + 1 + 12 = 1 - 14 + 1 + 12 = 0$. Значит, $m=1$ является корнем.
Найдем соответствующее значение $n$: $n = 7 - m^2 = 7 - 1^2 = 6$.
Получили пару $(1; 6)$. Проверим ее, подставив в исходную систему:
$1 + 6^2 = 1 + 36 = 37$. Верно.
$1^2 + 6 = 1 + 6 = 7$. Верно.
Таким образом, $(1; 6)$ является решением.
Проверим остальные возможные корни:
При $m=-1$: $(-1)^4 - 14(-1)^2 + (-1) + 12 = 1 - 14 - 1 + 12 = -2 \ne 0$.
При $m=2$: $2^4 - 14(2^2) + 2 + 12 = 16 - 56 + 2 + 12 = -26 \ne 0$.
При $m=-2$: $(-2)^4 - 14(-2)^2 + (-2) + 12 = 16 - 56 - 2 + 12 = -30 \ne 0$.
При $m=3$: $3^4 - 14(3^2) + 3 + 12 = 81 - 126 + 3 + 12 = -30 \ne 0$.
При $m=-3$: $(-3)^4 - 14(-3)^2 + (-3) + 12 = 81 - 126 - 3 + 12 = -36 \ne 0$.
При $m=4$: $4^4 - 14(4^2) + 4 + 12 = 256 - 224 + 4 + 12 = 48 \ne 0$.
При $m=-4$: $(-4)^4 - 14(-4)^2 + (-4) + 12 = 256 - 224 - 4 + 12 = 40 \ne 0$.
Проверка показывает, что другие целые делители числа 12 не являются корнями уравнения. Следовательно, $m=1$ — единственный целый корень.
Ответ: $(1; 6)$.