Номер 93, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 93, страница 32.

Условие.

93. Решите графически систему уравнений:

а)

$\begin{cases} y - x^2 = 2 \\ xy = -3 \end{cases}$

б)

$\begin{cases} x^2 + 2x + y = -1 \\ x + y + 5 = 0 \end{cases}$

в)

$\begin{cases} xy = 2 \\ y = -0,4x^2 + 2,4 \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Решим систему уравнений графически: $ \begin{cases} y - x^2 = 2, \\ xy = -3; \end{cases} $

Для этого построим графики каждого уравнения в одной системе координат. Преобразуем уравнения к виду функции $y(x)$.

Первое уравнение: $y - x^2 = 2 \implies y = x^2 + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Для построения графика найдем несколько точек:
при $x=0, y=2$;
при $x=1, y=1^2+2=3$;
при $x=-1, y=(-1)^2+2=3$;
при $x=2, y=2^2+2=6$;
при $x=-2, y=(-2)^2+2=6$.

Второе уравнение: $xy = -3 \implies y = -3/x$. Это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения графика найдем несколько точек:
при $x=1, y=-3$;
при $x=3, y=-1$;
при $x=-1, y=3$;
при $x=-3, y=1$.

Построив графики параболы $y = x^2 + 2$ и гиперболы $y = -3/x$ в одной координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки пересечения легко определяются по графикам: $(-1, 3)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему:
$3 - (-1)^2 = 3 - 1 = 2$ (верно).
$(-1) \cdot 3 = -3$ (верно).

Следовательно, решение системы — это пара чисел $(-1, 3)$.

Ответ: $(-1, 3)$.

б) Решим систему уравнений графически: $ \begin{cases} x^2 + 2x + y = -1, \\ x + y + 5 = 0; \end{cases} $

Преобразуем уравнения для построения графиков.

Первое уравнение: $x^2 + 2x + y = -1 \implies y = -x^2 - 2x - 1$. Выделим полный квадрат: $y = -(x^2 + 2x + 1) = -(x+1)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$. Найдем несколько точек для построения:
при $x=-1, y=0$;
при $x=0, y=-(0+1)^2=-1$;
при $x=-2, y=-(-2+1)^2=-1$;
при $x=1, y=-(1+1)^2=-4$.

Второе уравнение: $x + y + 5 = 0 \implies y = -x - 5$. Это прямая линия. Для построения достаточно двух точек:
при $x=0, y=-5$;
при $x=-5, y=0$.

Построив параболу $y = -(x+1)^2$ и прямую $y = -x - 5$ на одной координатной плоскости, мы находим две точки их пересечения. Так как точки пересечения не имеют целочисленных координат, определим их приближенно по графику.

Первая точка пересечения имеет координаты примерно $(1.6, -6.6)$. Вторая точка пересечения имеет координаты примерно $(-2.6, -2.4)$.

Ответ: приблизительные решения $(1.6, -6.6)$ и $(-2.6, -2.4)$.

в) Решим систему уравнений графически: $ \begin{cases} xy = 2, \\ y = -0.4x^2 + 2.4; \end{cases} $

Преобразуем уравнения для построения графиков.

Первое уравнение: $xy = 2 \implies y = 2/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Точки для построения: $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(0.5, 4)$, $(-1, -2)$, $(-2, -1)$.

Второе уравнение: $y = -0.4x^2 + 2.4$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 2.4)$, так как коэффициент при $x$ равен нулю. Найдем несколько точек для построения:
при $x=0, y=2.4$;
при $x=1, y=-0.4(1)^2+2.4 = 2$;
при $x=-1, y=-0.4(-1)^2+2.4 = 2$;
при $x=2, y=-0.4(2)^2+2.4 = -1.6+2.4 = 0.8$;
при $x=-2, y=-0.4(-2)^2+2.4 = 0.8$.

Построив графики гиперболы $y = 2/x$ и параболы $y = -0.4x^2 + 2.4$ в одной системе координат, мы можем найти их точки пересечения. Графики пересекаются в трех точках.

Одна из точек пересечения имеет целочисленные координаты, которые легко определить по графику: $(1, 2)$.

Две другие точки не имеют целочисленных координат. Определим их координаты приближенно по графику. Вторая точка пересечения находится в первой четверти и имеет приблизительные координаты $(1.8, 1.1)$. Третья точка находится в третьей четверти с приблизительными координатами $(-2.8, -0.7)$.

Проверим точку $(1, 2)$:
$1 \cdot 2 = 2$ (верно).
$2 = -0.4(1)^2 + 2.4 \implies 2 = -0.4 + 2.4 \implies 2=2$ (верно).

Ответ: $(1, 2)$ и приблизительные решения $(1.8, 1.1)$, $(-2.8, -0.7)$.