Номер 99, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 99, страница 33.

Условие.

99. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} (x + 5y)(x - y) = 7, \\ (x + 5y)(x + y) = 21; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy(x + y) = 48, \\ xy(x - y) = 16. \end{cases} $

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}(x + 5y)(x - y) = 7 \\(x + 5y)(x + y) = 21\end{cases}$$

Заметим, что в обоих уравнениях есть общий множитель $(x + 5y)$. Поскольку правые части уравнений не равны нулю, то и $(x + 5y) \neq 0$. Это позволяет нам разделить второе уравнение на первое:

$$ \frac{(x + 5y)(x + y)}{(x + 5y)(x - y)} = \frac{21}{7} $$

После сокращения общего множителя $(x + 5y)$ получаем:

$$ \frac{x + y}{x - y} = 3 $$

Из этого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x + y = 3(x - y)$

$x + y = 3x - 3y$

$y + 3y = 3x - x$

$4y = 2x$

$x = 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение исходной системы $(x + 5y)(x - y) = 7$:

$(2y + 5y)(2y - y) = 7$

$(7y)(y) = 7$

$7y^2 = 7$

$y^2 = 1$

Отсюда находим два возможных значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$:

1. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2y_1 = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем решение $(2; 1)$.

2. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$. Получаем решение $(-2; -1)$.

Ответ: $(2; 1)$, $(-2; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}xy(x + y) = 48 \\xy(x - y) = 16\end{cases}$$

В обоих уравнениях присутствует общий множитель $xy$. Так как правые части уравнений не равны нулю, то $xy \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе:

$$ \frac{xy(x + y)}{xy(x - y)} = \frac{48}{16} $$

Сократив $xy$, получаем:

$$ \frac{x + y}{x - y} = 3 $$

Как и в предыдущем задании, из этого соотношения следует, что $x = 2y$.

Подставим $x = 2y$ во второе уравнение исходной системы $xy(x - y) = 16$:

$(2y)y(2y - y) = 16$

$2y^2(y) = 16$

$2y^3 = 16$

$y^3 = 8$

Извлекая кубический корень, находим единственное действительное решение для $y$:

$y = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 2 = 4$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(4; 2)$.

Ответ: $(4; 2)$.