Номер 105, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 105, страница 37.

Условие.

105. а) Расстояние 300 км пассажирский поезд проходит на 1 ч быстрее товарного. Найдите скорость каждого из поездов, если за 1,5 ч пассажирский поезд проходит на 22,5 км больше, чем товарный.

б) Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли пассажирский и товарный поезда. Двигаясь без остановок с постоянной скоростью, пассажирский поезд прибыл в пункт В через 4 ч, а товарный – в пункт А через 6 ч. Найдите скорость каждого поезда, если через 2 ч после того, как поезда встретились, расстояние между ними составило 320 км.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Пусть $v_п$ (км/ч) — скорость пассажирского поезда, а $v_т$ (км/ч) — скорость товарного поезда.

Время, за которое пассажирский поезд проходит 300 км, равно $t_п = \frac{300}{v_п}$ ч.

Время, за которое товарный поезд проходит 300 км, равно $t_т = \frac{300}{v_т}$ ч.

По условию, пассажирский поезд проходит это расстояние на 1 час быстрее, значит:

$t_т - t_п = 1 \implies \frac{300}{v_т} - \frac{300}{v_п} = 1$

Также известно, что за 1,5 часа пассажирский поезд проходит на 22,5 км больше, чем товарный. Составим второе уравнение:

$1.5 \cdot v_п - 1.5 \cdot v_т = 22.5$

Из второго уравнения выразим разность скоростей:

$v_п - v_т = \frac{22.5}{1.5} = 15$

Отсюда $v_п = v_т + 15$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{300}{v_т} - \frac{300}{v_т + 15} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{300(v_т + 15) - 300v_т}{v_т(v_т + 15)} = 1$

$\frac{300v_т + 4500 - 300v_т}{v_т^2 + 15v_т} = 1$

$\frac{4500}{v_т^2 + 15v_т} = 1$

$v_т^2 + 15v_т = 4500$

$v_т^2 + 15v_т - 4500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$

$\sqrt{D} = \sqrt{18225} = 135$

Найдем корни уравнения:

$v_т = \frac{-15 \pm 135}{2}$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком «плюс»:

$v_т = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$ (км/ч)

Теперь найдем скорость пассажирского поезда:

$v_п = v_т + 15 = 60 + 15 = 75$ (км/ч)

Ответ: скорость пассажирского поезда — 75 км/ч, скорость товарного поезда — 60 км/ч.

б)

Пусть $v_п$ (км/ч) — скорость пассажирского поезда, $v_т$ (км/ч) — скорость товарного поезда, а $S$ (км) — расстояние между городами А и В.

Пассажирский поезд, двигаясь из А в В, проходит расстояние $S$ за 4 часа. Следовательно, его скорость $v_п = \frac{S}{4}$.

Товарный поезд, двигаясь из В в А, проходит расстояние $S$ за 6 часов. Следовательно, его скорость $v_т = \frac{S}{6}$.

Когда поезда движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей $v_{сбл} = v_п + v_т$. После встречи поезда продолжают движение, и их скорость удаления также равна $v_{уд} = v_п + v_т$.

По условию, через 2 часа после того, как поезда встретились, расстояние между ними составило 320 км. Это расстояние равно произведению скорости удаления на время:

$(v_п + v_т) \cdot 2 = 320$

Отсюда находим сумму скоростей поездов:

$v_п + v_т = \frac{320}{2} = 160$ (км/ч)

Теперь подставим в это уравнение выражения для скоростей через $S$:

$\frac{S}{4} + \frac{S}{6} = 160$

Приведем левую часть к общему знаменателю 12:

$\frac{3S}{12} + \frac{2S}{12} = 160$

$\frac{5S}{12} = 160$

$5S = 160 \cdot 12$

$S = \frac{160 \cdot 12}{5} = 32 \cdot 12 = 384$ (км)

Зная расстояние $S$, найдем скорости каждого поезда:

Скорость пассажирского поезда: $v_п = \frac{S}{4} = \frac{384}{4} = 96$ (км/ч)

Скорость товарного поезда: $v_т = \frac{S}{6} = \frac{384}{6} = 64$ (км/ч)

Ответ: скорость пассажирского поезда — 96 км/ч, скорость товарного поезда — 64 км/ч.