Номер 109, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 109, страница 37.

Условие.

109. Найдите обыкновенную дробь, если известно, что разность квадратов ее знаменателя и числителя равна 55 и после увеличения ее числителя в 2 раза, а знаменателя в 1,5 раза дробь увеличится на $\frac{1}{8}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель. По условию, $x$ и $y$ — натуральные числа, $y \neq 0$.

Составление системы уравнений по условиям задачи

1. Разность квадратов знаменателя и числителя равна 55. Это дает нам первое уравнение:

$y^2 - x^2 = 55$

2. После увеличения числителя в 2 раза (новый числитель станет $2x$), а знаменателя в 1,5 раза (новый знаменатель станет $1.5y$), дробь увеличится на $\frac{1}{8}$. Запишем это в виде второго уравнения:

$\frac{2x}{1.5y} = \frac{x}{y} + \frac{1}{8}$

Преобразуем новую дробь для удобства: $\frac{2x}{1.5y} = \frac{2x}{\frac{3}{2}y} = \frac{4x}{3y}$.

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} y^2 - x^2 = 55 \\ \frac{4x}{3y} = \frac{x}{y} + \frac{1}{8} \end{cases} $

Решение системы уравнений

Сначала упростим второе уравнение, чтобы найти связь между $x$ и $y$:

$\frac{4x}{3y} - \frac{x}{y} = \frac{1}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $3y$:

$\frac{4x}{3y} - \frac{3x}{3y} = \frac{1}{8}$

$\frac{4x - 3x}{3y} = \frac{1}{8}$

$\frac{x}{3y} = \frac{1}{8}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$8x = 3y$

Теперь выразим одну переменную через другую. Например, $x = \frac{3}{8}y$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$y^2 - (\frac{3}{8}y)^2 = 55$

$y^2 - \frac{9}{64}y^2 = 55$

Вынесем $y^2$ за скобку:

$y^2(1 - \frac{9}{64}) = 55$

$y^2(\frac{64}{64} - \frac{9}{64}) = 55$

$y^2(\frac{55}{64}) = 55$

Разделим обе части уравнения на 55:

$\frac{y^2}{64} = 1$

$y^2 = 64$

Поскольку $y$ — знаменатель дроби и должен быть натуральным числом, берем положительный корень:

$y = 8$

Теперь найдем числитель $x$, используя найденную ранее связь $x = \frac{3}{8}y$:

$x = \frac{3}{8} \cdot 8 = 3$

Таким образом, искомая обыкновенная дробь — это $\frac{3}{8}$.

Проверим результат.
1. $y^2 - x^2 = 8^2 - 3^2 = 64 - 9 = 55$. Условие выполняется.
2. Новая дробь $\frac{2 \cdot 3}{1.5 \cdot 8} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Исходная дробь $\frac{3}{8}$. Разница: $\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$. Условие выполняется.

Ответ: $\frac{3}{8}$