Номер 115, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 115, страница 38.

Условие.

115. Имеется 20-процентный раствор соли, содержащий $x$ г соли и $y$ г воды. Если долить в него 200 г воды, то концентрация раствора уменьшится на 10 %. Сколько соли и воды было в растворе первоначально?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $x$ г — масса соли в первоначальном растворе, а $y$ г — масса воды в первоначальном растворе.

Тогда общая масса первоначального раствора составляет $(x + y)$ г.

Концентрация раствора вычисляется по формуле: $(\text{масса соли} / \text{масса раствора}) \cdot 100\%$.

По условию, начальная концентрация раствора составляет 20%. Составим первое уравнение:
$\frac{x}{x + y} = 0.2$

После того как в раствор добавили 200 г воды, масса соли не изменилась (осталась $x$ г), а масса воды стала $(y + 200)$ г. Новая общая масса раствора стала $(x + y + 200)$ г.

Концентрация раствора уменьшилась на 10%, то есть новая концентрация составила $20\% - 10\% = 10\%$.

Составим второе уравнение для нового раствора:
$\frac{x}{x + y + 200} = 0.1$

Получим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} \frac{x}{x + y} = 0.2 \\ \frac{x}{x + y + 200} = 0.1 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 0.2(x + y)$
$x = 0.2x + 0.2y$
$x - 0.2x = 0.2y$
$0.8x = 0.2y$
$y = \frac{0.8x}{0.2}$
$y = 4x$

Теперь преобразуем второе уравнение:
$x = 0.1(x + y + 200)$

Подставим в него выражение $y = 4x$:
$x = 0.1(x + 4x + 200)$
$x = 0.1(5x + 200)$
$x = 0.5x + 20$
$x - 0.5x = 20$
$0.5x = 20$
$x = \frac{20}{0.5}$
$x = 40$

Таким образом, масса соли в первоначальном растворе составляет 40 г.

Теперь найдем первоначальную массу воды:
$y = 4x = 4 \cdot 40 = 160$

Масса воды в первоначальном растворе составляет 160 г.

Проверка:
Начальная масса раствора: $40 \text{ г} + 160 \text{ г} = 200 \text{ г}$.
Начальная концентрация: $\frac{40}{200} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.
После добавления 200 г воды масса раствора стала $200 + 200 = 400$ г.
Новая концентрация: $\frac{40}{400} \cdot 100\% = 0.1 \cdot 100\% = 10\%$.
Уменьшение концентрации: $20\% - 10\% = 10\%$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: первоначально в растворе было 40 г соли и 160 г воды.