Номер 114, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 114, страница 38.

Условие.

114. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 40 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля и двигались с постоянными скоростями. Через 12 минут расстояние между ними было 12 км. Найдите скорость каждого автомобиля, если один из них прибыл в пункт В на 10 минут позже, чем другой в пункт А.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго автомобилей в км/ч. Расстояние между пунктами A и B равно $S = 40$ км. Время, через которое измерялось расстояние, $t = 12$ минут $= \frac{12}{60}$ часа $= \frac{1}{5}$ часа. Разница во времени прибытия автомобилей в пункты назначения составляет $\Delta T = 10$ минут $= \frac{10}{60}$ часа $= \frac{1}{6}$ часа.

Условие, что через 12 минут расстояние между автомобилями было 12 км, допускает два возможных сценария: автомобили еще не встретились, или они уже встретились и продолжили движение.

Случай 1: Автомобили еще не встретились.
В этом случае суммарное расстояние, которое проехали автомобили, равно разности начального и конечного расстояний между ними: $S_1 = 40 - 12 = 28$ км.За время $t = \frac{1}{5}$ часа они вместе проехали $S_1 = (v_1 + v_2)t$.Получаем первое уравнение: $(v_1 + v_2) \cdot \frac{1}{5} = 28$, откуда $v_1 + v_2 = 140$.
Второе условие задачи гласит, что один автомобиль прибыл на 10 минут ($\frac{1}{6}$ часа) позже другого. Время, которое требуется каждому автомобилю, чтобы проехать 40 км, равно $T_1 = \frac{40}{v_1}$ и $T_2 = \frac{40}{v_2}$.Предположим, что $v_1 > v_2$, тогда $T_1 < T_2$. Разница во времени составляет $T_2 - T_1 = \frac{1}{6}$.Получаем второе уравнение: $\frac{40}{v_2} - \frac{40}{v_1} = \frac{1}{6}$.
Решим систему из двух уравнений:$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 140 \\ \frac{40}{v_2} - \frac{40}{v_1} = \frac{1}{6} \end{cases} $Из первого уравнения выразим $v_2 = 140 - v_1$ и подставим во второе:$\frac{40}{140 - v_1} - \frac{40}{v_1} = \frac{1}{6}$$40 \left( \frac{v_1 - (140 - v_1)}{v_1(140 - v_1)} \right) = \frac{1}{6}$$40 \cdot \frac{2v_1 - 140}{140v_1 - v_1^2} = \frac{1}{6}$$240(2v_1 - 140) = 140v_1 - v_1^2$$480v_1 - 33600 = 140v_1 - v_1^2$$v_1^2 + 340v_1 - 33600 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 340^2 - 4(1)(-33600) = 115600 + 134400 = 250000 = 500^2$.$v_1 = \frac{-340 \pm 500}{2}$.Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем корень $v_1 = \frac{-340 + 500}{2} = \frac{160}{2} = 80$ км/ч.Тогда $v_2 = 140 - 80 = 60$ км/ч.
Проверка: $T_1 = \frac{40}{80} = 0.5$ ч = 30 мин. $T_2 = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ ч = 40 мин. $T_2 - T_1 = 10$ мин. Условие выполняется.
Ответ: скорость одного автомобиля 80 км/ч, а другого 60 км/ч.

Случай 2: Автомобили встретились и разъехались.
В этом случае суммарное расстояние, которое они проехали, равно сумме начального расстояния и расстояния между ними после встречи: $S_2 = 40 + 12 = 52$ км.За время $t = \frac{1}{5}$ часа они вместе проехали $S_2 = (v_1 + v_2)t$.Получаем первое уравнение: $(v_1 + v_2) \cdot \frac{1}{5} = 52$, откуда $v_1 + v_2 = 260$.
Второе уравнение остается тем же: $\frac{40}{v_2} - \frac{40}{v_1} = \frac{1}{6}$ (при условии $v_1 > v_2$).
Решим систему:$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 260 \\ \frac{40}{v_2} - \frac{40}{v_1} = \frac{1}{6} \end{cases} $Из первого уравнения $v_2 = 260 - v_1$. Подставим во второе:$\frac{40}{260 - v_1} - \frac{40}{v_1} = \frac{1}{6}$$40 \left( \frac{v_1 - (260 - v_1)}{v_1(260 - v_1)} \right) = \frac{1}{6}$$40 \cdot \frac{2v_1 - 260}{260v_1 - v_1^2} = \frac{1}{6}$$240(2v_1 - 260) = 260v_1 - v_1^2$$480v_1 - 62400 = 260v_1 - v_1^2$$v_1^2 + 220v_1 - 62400 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 220^2 - 4(1)(-62400) = 48400 + 249600 = 298000$.$\sqrt{D} = \sqrt{298000} = 20\sqrt{745}$.$v_1 = \frac{-220 \pm 20\sqrt{745}}{2} = -110 \pm 10\sqrt{745}$.Так как скорость должна быть положительной, $v_1 = -110 + 10\sqrt{745}$ км/ч.Тогда $v_2 = 260 - v_1 = 260 - (-110 + 10\sqrt{745}) = 370 - 10\sqrt{745}$ км/ч.Оба значения скоростей положительны, поэтому это решение также является математически корректным.
Ответ: скорость одного автомобиля $(-110 + 10\sqrt{745})$ км/ч, а другого $(370 - 10\sqrt{745})$ км/ч (приблизительно 162.9 км/ч и 97.1 км/ч).