Номер 121, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 121, страница 39.

Условие.

121. a) Два тела, двигаясь по некоторой окружности в разных направлениях, встречаются через каждые 6 секунд. При движении по ней с этими же постоянными скоростями в одном направлении, встречаются через каждые 30 секунд. За сколько секунд преодолевает это расстояние тело, имеющее большую скорость?

б) Два автомобилиста, двигаясь по кольцевой дороге в одном направлении с постоянными скоростями, оказываются рядом через каждые 3 часа. При движении в разных направлениях они встречаются через каждые 20 минут. За какое время преодолевает эту трассу каждый автомобилист?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Обозначим длину окружности как $L$, а скорости тел как $v_1$ и $v_2$. Пусть $v_1$ — это большая скорость. Время, за которое тело с большей скоростью преодолевает окружность, равно $T_1 = L / v_1$.

Когда тела движутся в разных направлениях (навстречу друг другу), их относительная скорость равна сумме их скоростей $v_{отн} = v_1 + v_2$. Они встречаются, когда суммарно проходят расстояние, равное длине окружности. Время встречи $t_{встр} = 6$ секунд.

$L = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$

$v_1 + v_2 = L / 6$

Когда тела движутся в одном направлении, их относительная скорость равна разности скоростей $v_{отн} = v_1 - v_2$. Они встречаются, когда более быстрое тело обгоняет более медленное на один круг. Время встречи в этом случае $t_{обг} = 30$ секунд.

$L = (v_1 - v_2) \cdot t_{обг}$

$v_1 - v_2 = L / 30$

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $v_1 + v_2 = L / 6$

2) $v_1 - v_2 = L / 30$

Чтобы найти скорость $v_1$ более быстрого тела, сложим эти два уравнения:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = L/6 + L/30$

$2v_1 = \frac{5L}{30} + \frac{L}{30} = \frac{6L}{30} = \frac{L}{5}$

$v_1 = \frac{L}{10}$

Теперь найдем время, за которое более быстрое тело проходит всю окружность:

$T_1 = \frac{L}{v_1} = \frac{L}{L/10} = 10$ секунд.

Ответ: тело, имеющее большую скорость, преодолевает это расстояние за 10 секунд.

б) Обозначим длину кольцевой дороги как $L$, а скорости автомобилистов как $v_1$ и $v_2$. Пусть $T_1$ и $T_2$ — время, за которое каждый автомобилист преодолевает трассу. Допустим, $v_1 > v_2$.

Когда автомобилисты движутся в одном направлении, они оказываются рядом через каждые $t_{обг} = 3$ часа. Это время, за которое более быстрый автомобилист обгоняет более медленного на один круг. Их относительная скорость равна $v_1 - v_2$.

$L = (v_1 - v_2) \cdot t_{обг}$

$v_1 - v_2 = L / 3$

Когда они движутся в разных направлениях, они встречаются каждые $t_{встр} = 20$ минут. Переведем минуты в часы: $20 \text{ мин} = 20/60 \text{ ч} = 1/3$ часа. Их относительная скорость сближения равна $v_1 + v_2$.

$L = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$

$v_1 + v_2 = L / (1/3) = 3L$

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $v_1 - v_2 = L / 3$

2) $v_1 + v_2 = 3L$

Сложим уравнения, чтобы найти $v_1$:

$(v_1 - v_2) + (v_1 + v_2) = L/3 + 3L$

$2v_1 = \frac{L}{3} + \frac{9L}{3} = \frac{10L}{3}$

$v_1 = \frac{5L}{3}$

Время, за которое первый автомобилист преодолевает трассу:

$T_1 = \frac{L}{v_1} = \frac{L}{5L/3} = \frac{3}{5}$ часа. Переведем в минуты: $\frac{3}{5} \cdot 60 = 36$ минут.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $v_2$:

$(v_1 + v_2) - (v_1 - v_2) = 3L - L/3$

$2v_2 = \frac{9L}{3} - \frac{L}{3} = \frac{8L}{3}$

$v_2 = \frac{4L}{3}$

Время, за которое второй автомобилист преодолевает трассу:

$T_2 = \frac{L}{v_2} = \frac{L}{4L/3} = \frac{3}{4}$ часа. Переведем в минуты: $\frac{3}{4} \cdot 60 = 45$ минут.

Ответ: один автомобилист преодолевает эту трассу за 36 минут, а другой за 45 минут.