Номер 125, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 125, страница 43.

Условие.

125. Укажите какую-нибудь пару чисел, являющуюся решением неравенства:

а) $(x+4)^2 + (y-7)^2 \leq 225$;

б) $|x+y| > x^2 + y^2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Заданное неравенство $(x + 4)^2 + (y - 7)^2 \le 225$ описывает все точки на плоскости, которые находятся внутри круга с центром в точке $(-4, 7)$ и радиусом $R = \sqrt{225} = 15$, а также на его границе. Чтобы найти пару чисел, являющуюся решением, достаточно выбрать любую точку из этой области. Самым простым примером является центр круга, точка $(-4, 7)$.
Проверим, подставив эти значения в неравенство:
$(-4 + 4)^2 + (7 - 7)^2 = 0^2 + 0^2 = 0$.
Так как $0 \le 225$, неравенство верно.
Ответ: например, пара чисел $(-4, 7)$.

б) Рассмотрим неравенство $|x + y| > x^2 + y^2$. Нужно найти пару чисел $(x, y)$, для которой это неравенство будет верным. Можно заметить, что если $x$ и $y$ — большие по модулю числа, то правая часть $x^2 + y^2$ будет расти быстрее, чем левая часть $|x + y|$. Поэтому решение следует искать среди чисел, близких к нулю.
Возьмем, например, пару чисел $x = 0.5$ и $y = 0.1$.
Подставим эти значения в неравенство и выполним проверку.
Левая часть: $|x + y| = |0.5 + 0.1| = |0.6| = 0.6$.
Правая часть: $x^2 + y^2 = (0.5)^2 + (0.1)^2 = 0.25 + 0.01 = 0.26$.
Сравниваем полученные значения: $0.6 > 0.26$.
Неравенство выполняется, значит, выбранная пара чисел является решением.
Ответ: например, пара чисел $(0.5, 0.1)$.