Номер 129, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 129, страница 43.

Условие.

129. Изобразите в координатной плоскости решения неравенства:

а) $x \le 4$;

б) $y > -3$;

в) $x + y \ge 5$;

г) $y - \frac{1}{2}x^2 > 0$;

д) $y \le -x^2 + 4$;

е) $x^2 + y^2 \ge 9$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $x \leq 4$

Решением данного неравенства является множество точек на координатной плоскости, абсцисса которых (координата $x$) меньше или равна 4.
Сначала построим граничную линию, которая соответствует равенству $x = 4$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку (4, 0) и параллельная оси ординат (оси OY).
Поскольку неравенство нестрогое ($\leq$), граничная линия $x = 4$ является частью решения и изображается сплошной линией.
Неравенству $x \leq 4$ удовлетворяют все точки, которые лежат на этой прямой и слева от нее.

Ответ: Решением является полуплоскость, расположенная слева от прямой $x=4$, включая саму прямую.

б) $y > -3$

Решением данного неравенства является множество точек, ордината которых (координата $y$) строго больше -3.
Граничная линия задается уравнением $y = -3$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, -3) и параллельная оси абсцисс (оси OX).
Поскольку неравенство строгое ($>$), граничная линия $y = -3$ не является частью решения и изображается пунктирной линией.
Неравенству $y > -3$ удовлетворяют все точки, которые лежат выше этой прямой. Для проверки можно взять контрольную точку, например, начало координат (0, 0). Подставив ее в неравенство, получим $0 > -3$, что является верным утверждением. Значит, заштриховывается та часть плоскости, где лежит точка (0, 0).

Ответ: Решением является полуплоскость, расположенная выше прямой $y=-3$. Сама прямая в решение не входит.

в) $x + y \geq 5$

Сначала построим граничную прямую $x + y = 5$, или, в более привычном виде, $y = -x + 5$. Это прямая, проходящая через точки (0, 5) и (5, 0).
Так как неравенство нестрогое ($\geq$), то точки на прямой $y = -x + 5$ являются решениями, и линия изображается сплошной.
Чтобы определить, какую полуплоскость заштриховать, выберем пробную точку, не лежащую на прямой. Например, (0, 0). Подставим ее координаты в исходное неравенство: $0 + 0 \geq 5$, или $0 \geq 5$. Это неверно. Следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая точку (0, 0), то есть та, что расположена выше и правее прямой.

Ответ: Решением является полуплоскость, расположенная выше и правее прямой $y=-x+5$, включая саму прямую.

г) $y - \frac{1}{2}x^2 > 0$

Перепишем неравенство в виде $y > \frac{1}{2}x^2$.
Границей области является парабола, заданная уравнением $y = \frac{1}{2}x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (2, 2) и (-2, 2).
Поскольку неравенство строгое ($>$), точки на самой параболе не являются решениями, поэтому она изображается пунктирной линией.
Неравенство $y > \frac{1}{2}x^2$ означает, что для каждой абсциссы $x$ нас интересуют точки с ординатой $y$, большей чем $\frac{1}{2}x^2$. Это точки, расположенные "внутри" (выше) параболы. Для проверки возьмем точку (0, 2). Подставим в неравенство: $2 > \frac{1}{2} \cdot 0^2$, или $2 > 0$. Это верно. Значит, мы заштриховываем область над параболой.

Ответ: Решением является область, расположенная выше параболы $y = \frac{1}{2}x^2$. Сама парабола в решение не входит.

д) $y \leq -x^2 + 4$

Границей области является парабола, заданная уравнением $y = -x^2 + 4$. Это парабола с вершиной в точке (0, 4), ветви которой направлены вниз. Она пересекает ось OX в точках (-2, 0) и (2, 0).
Поскольку неравенство нестрогое ($\leq$), точки на параболе являются решениями, и она изображается сплошной линией.
Неравенству $y \leq -x^2 + 4$ удовлетворяют точки, лежащие на параболе и под ней. Возьмем пробную точку (0, 0): $0 \leq -0^2 + 4$, или $0 \leq 4$. Это верно. Следовательно, решением является область, содержащая начало координат, то есть область "внутри" (ниже) параболы.

Ответ: Решением является область, ограниченная сверху параболой $y=-x^2+4$, включая саму параболу.

е) $x^2 + y^2 \geq 9$

Границей области является кривая, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 9$. Это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.
Так как неравенство нестрогое ($\geq$), то точки на самой окружности являются решениями, и она изображается сплошной линией.
Выражение $x^2 + y^2$ представляет собой квадрат расстояния от точки (x, y) до начала координат. Неравенство $x^2 + y^2 \geq 9$ означает, что нас интересуют точки, квадрат расстояния от которых до центра не меньше 9 (т.е. расстояние не меньше 3). Это все точки, лежащие на окружности и вне ее.
Проверим с помощью пробной точки (0, 0): $0^2 + 0^2 \geq 9$, или $0 \geq 9$. Это неверно. Следовательно, решением является область, не содержащая начало координат, то есть внешняя часть круга.

Ответ: Решением является множество точек, лежащих на окружности $x^2+y^2=9$ и вне ее.