Номер 136, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 136, страница 44.

Условие.

136. Решите неравенство:

а) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 \leq 0$;

б) $x^2 + y^2 - 10x + 4y + 30 \leq 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $x^2+y^2-2x-4y+5 \le 0$

Для решения данного неравенства сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты.

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 \le 0$

Чтобы выделить полный квадрат для выражения с $x$, добавим и вычтем 1:

$(x^2 - 2x + 1) - 1$

Чтобы выделить полный квадрат для выражения с $y$, добавим и вычтем 4:

$(y^2 - 4y + 4) - 4$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 5 \le 0$

Свернем полные квадраты по формулам квадрата разности:

$(x-1)^2 + (y-2)^2 - 1 - 4 + 5 \le 0$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 \le 0$

Выражения $(x-1)^2$ и $(y-2)^2$ являются квадратами, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел может быть меньше или равна нулю только в одном случае: когда оба числа равны нулю.

Следовательно, неравенство превращается в систему уравнений:

$\begin{cases} (x-1)^2 = 0 \\ (y-2)^2 = 0 \end{cases}$

Из этой системы находим:

$\begin{cases} x - 1 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Таким образом, неравенство имеет единственное решение в виде точки на координатной плоскости.

Ответ: (1; 2).

б) $x^2+y^2-10x+4y+30 \le 0$

Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты.

$(x^2 - 10x) + (y^2 + 4y) + 30 \le 0$

Выделяем полные квадраты для $x$ и $y$:

Для $x$: $(x^2 - 10x + 25) - 25$

Для $y$: $(y^2 + 4y + 4) - 4$

Подставляем в неравенство:

$(x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 30 \le 0$

Сворачиваем квадраты:

$(x-5)^2 + (y+2)^2 - 25 - 4 + 30 \le 0$

$(x-5)^2 + (y+2)^2 + 1 \le 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$(x-5)^2 + (y+2)^2 \le -1$

Как и в предыдущем случае, выражения $(x-5)^2$ и $(y+2)^2$ всегда неотрицательны. Их сумма также всегда будет неотрицательной:

$(x-5)^2 + (y+2)^2 \ge 0$

Сумма двух квадратов не может быть меньше отрицательного числа (-1). Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или ∅).