Номер 135, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 135, страница 44.

Условие.

135. Верно ли, что множество решений неравенства $x^2 - 2x + y^2 - 4y > 0$ содержится в первой координатной четверти?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо проанализировать множество решений неравенства $x^2 - 2x + y^2 - 4y > 0$. Для этого преобразуем левую часть неравенства, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) > 0$

Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для первого выражения нужно прибавить и отнять 1, для второго — прибавить и отнять 4:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 > 0$

Теперь свернем полные квадраты:

$(x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 > 0$

Перенесем числовые слагаемые в правую часть неравенства:

$(x-1)^2 + (y-2)^2 > 5$

Это неравенство описывает множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, которые находятся вне круга с центром в точке $C(1; 2)$ и радиусом $r = \sqrt{5}$.

Первая координатная четверть — это область, где одновременно выполняются условия $x > 0$ и $y > 0$. Вопрос заключается в том, все ли точки, удовлетворяющие неравенству $(x-1)^2 + (y-2)^2 > 5$, находятся в этой четверти.

Чтобы это проверить, достаточно найти хотя бы одну точку, которая является решением неравенства, но не лежит в первой координатной четверти. Рассмотрим, например, точку с координатами $(-2; 2)$. Эта точка лежит во второй координатной четверти, так как ее абсцисса $x = -2 < 0$, а ордината $y = 2 > 0$.

Подставим координаты этой точки в преобразованное неравенство:

$(-2-1)^2 + (2-2)^2 = (-3)^2 + 0^2 = 9$

Полученное значение $9$ больше $5$, следовательно, неравенство $9 > 5$ верно. Это означает, что точка $(-2; 2)$ принадлежит множеству решений данного неравенства.

Поскольку мы нашли точку, которая является решением неравенства, но не принадлежит первой координатной четверти, то утверждение о том, что все множество решений содержится в первой четверти, является неверным.

Ответ: нет, неверно.