Номер 137, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 137, страница 44.

Условие.

137. Изобразите множество пар чисел (x; y), являющихся решениями уравнения:

a) $\sqrt{y^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}x^2} = y + \frac{1}{3}x;$

в) $\sqrt{y^2 - 2x^2y + x^4} = x^2 - y;$

б) $\sqrt{y^2 - \frac{1}{2}xy + \frac{1}{16}x^2} = -y + \frac{1}{4}x;$

г) $\sqrt{y^2 - x^2y + \frac{1}{4}x^4} = y - \frac{1}{2}x^2.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходное уравнение: $\sqrt{y^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}x^2} = y + \frac{1}{3}x$. Заметим, что выражение под знаком корня является полным квадратом суммы: $y^2 + 2 \cdot y \cdot (\frac{1}{3}x) + (\frac{1}{3}x)^2 = (y + \frac{1}{3}x)^2$. Подставив это в исходное уравнение, получаем: $\sqrt{(y + \frac{1}{3}x)^2} = y + \frac{1}{3}x$. Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, уравнение принимает вид: $|y + \frac{1}{3}x| = y + \frac{1}{3}x$. Равенство вида $|z| = z$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение $z$ неотрицательно, то есть $z \ge 0$. В нашем случае $z = y + \frac{1}{3}x$, следовательно, решением является неравенство $y + \frac{1}{3}x \ge 0$. Выразим $y$: $y \ge -\frac{1}{3}x$. Множество пар чисел $(x; y)$, являющихся решениями уравнения, — это все точки координатной плоскости, лежащие на прямой $y = -\frac{1}{3}x$ и выше неё. Графически это замкнутая полуплоскость.
Ответ: Множеством решений является замкнутая полуплоскость, заданная неравенством $y \ge -\frac{1}{3}x$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{y^2 - \frac{1}{2}xy + \frac{1}{16}x^2} = -y + \frac{1}{4}x$. Выражение под корнем является полным квадратом разности: $y^2 - 2 \cdot y \cdot (\frac{1}{4}x) + (\frac{1}{4}x)^2 = (y - \frac{1}{4}x)^2$. Тогда уравнение можно переписать в виде: $\sqrt{(y - \frac{1}{4}x)^2} = -y + \frac{1}{4}x$. Преобразуем правую часть уравнения: $-y + \frac{1}{4}x = -(y - \frac{1}{4}x)$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|y - \frac{1}{4}x| = -(y - \frac{1}{4}x)$. Равенство вида $|z| = -z$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение $z$ неположительно, то есть $z \le 0$. В нашем случае $z = y - \frac{1}{4}x$, следовательно, решением является неравенство $y - \frac{1}{4}x \le 0$. Выразим $y$: $y \le \frac{1}{4}x$. Множество решений — это все точки координатной плоскости, лежащие на прямой $y = \frac{1}{4}x$ и ниже неё. Графически это замкнутая полуплоскость.
Ответ: Множеством решений является замкнутая полуплоскость, заданная неравенством $y \le \frac{1}{4}x$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{y^2 - 2x^2y + x^4} = x^2 - y$. Выражение под корнем является полным квадратом разности: $y^2 - 2 \cdot y \cdot x^2 + (x^2)^2 = (y - x^2)^2$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{(y - x^2)^2} = x^2 - y$. Преобразуем правую часть: $x^2 - y = -(y - x^2)$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|y - x^2| = -(y - x^2)$. Равенство вида $|z| = -z$ справедливо, когда $z \le 0$. Следовательно, решением является неравенство $y - x^2 \le 0$. Выразим $y$: $y \le x^2$. Множество решений — это все точки координатной плоскости, лежащие на параболе $y = x^2$ или ниже неё.
Ответ: Множество решений — это область, заданная неравенством $y \le x^2$, то есть все точки, расположенные на параболе $y=x^2$ и ниже нее.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{y^2 - x^2y + \frac{1}{4}x^4} = y - \frac{1}{2}x^2$. Выражение под корнем является полным квадратом разности: $y^2 - 2 \cdot y \cdot (\frac{1}{2}x^2) + (\frac{1}{2}x^2)^2 = (y - \frac{1}{2}x^2)^2$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{(y - \frac{1}{2}x^2)^2} = y - \frac{1}{2}x^2$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|y - \frac{1}{2}x^2| = y - \frac{1}{2}x^2$. Равенство вида $|z| = z$ справедливо, когда $z \ge 0$. Следовательно, решением является неравенство $y - \frac{1}{2}x^2 \ge 0$. Выразим $y$: $y \ge \frac{1}{2}x^2$. Множество решений — это все точки координатной плоскости, лежащие на параболе $y = \frac{1}{2}x^2$ или выше неё.
Ответ: Множество решений — это область, заданная неравенством $y \ge \frac{1}{2}x^2$, то есть все точки, расположенные на параболе $y=\frac{1}{2}x^2$ и выше нее.