Номер 132, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 132, страница 44.

Условие.

132. Брат и сестра, у которых было вместе не больше 400 тенге, купили $x$ карандашей по цене 30 тенге и $y$ карандашей по 40 тенге. Установите:
a) какое наибольшее число карандашей они могли купить;
б) сколько пар натуральных чисел $(x; y)$ удовлетворяют условию задачи.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $x$ — количество карандашей по цене 30 тенге, а $y$ — количество карандашей по цене 40 тенге. Согласно условию, $x$ и $y$ являются натуральными числами, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Общая стоимость покупки не должна превышать 400 тенге. Составим неравенство:

$30x + 40y \le 400$

Для удобства разделим обе части неравенства на 10:

$3x + 4y \le 40$

а) какое наибольшее число карандашей они могли купить;

Нам нужно найти максимальное значение суммы $S = x + y$ при выполнении условия $3x + 4y \le 40$. Чтобы купить как можно больше карандашей на ограниченную сумму, нужно покупать как можно больше дешевых карандашей. Карандаши по 30 тенге дешевле, поэтому для максимизации общего количества $(x+y)$ следует максимизировать $x$ и минимизировать $y$.

Поскольку $y$ — натуральное число, его наименьшее возможное значение равно 1. Подставим $y=1$ в наше неравенство:

$3x + 4(1) \le 40$

$3x \le 40 - 4$

$3x \le 36$

$x \le 12$

Наибольшее натуральное значение $x$ равно 12. Таким образом, при $y=1$ и $x=12$ общее количество карандашей будет максимальным.

$S_{max} = x + y = 12 + 1 = 13$

Проверим, выполняется ли условие по стоимости: $30(12) + 40(1) = 360 + 40 = 400$. Условие $400 \le 400$ выполняется.

Ответ: 13 карандашей.

б) сколько пар натуральных чисел (x; y) удовлетворяют условию задачи.

Нам нужно найти количество пар натуральных чисел $(x, y)$, которые являются решением неравенства $3x + 4y \le 40$. Будем перебирать возможные значения $y$, начиная с 1, и для каждого $y$ находить количество возможных значений $x$.

Из неравенства $4y < 40$ (так как $3x \ge 3$), следует, что $y < 10$. Значит, $y$ может принимать значения от 1 до 9.

При $y = 1$: $3x + 4 \le 40 \implies 3x \le 36 \implies x \le 12$. Так как $x \ge 1$, то $x$ может быть $1, 2, ..., 12$. Всего 12 пар.

При $y = 2$: $3x + 8 \le 40 \implies 3x \le 32 \implies x \le 10.66...$. $x$ может быть $1, 2, ..., 10$. Всего 10 пар.

При $y = 3$: $3x + 12 \le 40 \implies 3x \le 28 \implies x \le 9.33...$. $x$ может быть $1, 2, ..., 9$. Всего 9 пар.

При $y = 4$: $3x + 16 \le 40 \implies 3x \le 24 \implies x \le 8$. $x$ может быть $1, 2, ..., 8$. Всего 8 пар.

При $y = 5$: $3x + 20 \le 40 \implies 3x \le 20 \implies x \le 6.66...$. $x$ может быть $1, 2, ..., 6$. Всего 6 пар.

При $y = 6$: $3x + 24 \le 40 \implies 3x \le 16 \implies x \le 5.33...$. $x$ может быть $1, 2, ..., 5$. Всего 5 пар.

При $y = 7$: $3x + 28 \le 40 \implies 3x \le 12 \implies x \le 4$. $x$ может быть $1, 2, 3, 4$. Всего 4 пары.

При $y = 8$: $3x + 32 \le 40 \implies 3x \le 8 \implies x \le 2.66...$. $x$ может быть $1, 2$. Всего 2 пары.

При $y = 9$: $3x + 36 \le 40 \implies 3x \le 4 \implies x \le 1.33...$. $x$ может быть только 1. Всего 1 пара.

Теперь сложим количество пар для каждого значения $y$:

$12 + 10 + 9 + 8 + 6 + 5 + 4 + 2 + 1 = 57$

Ответ: 57 пар.