Номер 138, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 138, страница 44.

Условие.

138. Решите неравенство $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ky + p \leq 0$, если:

a) $a = \frac{1}{2}, b = c = 0, d = k = -1, p = -4;$

б) $a = c = 1, b = 0, d = -4, k = 6, p = 9;$

в) $a = c = d = k = 0, b = 2, p = -16.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Подставим значения $a = \frac{1}{2}, b = c = 0, d = k = -1, p = -4$ в исходное неравенство $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ky + p \le 0$:

$\frac{1}{2}x^2 + 0 \cdot xy + 0 \cdot y^2 + (-1)x + (-1)y + (-4) \le 0$

Упростим полученное выражение:

$\frac{1}{2}x^2 - x - y - 4 \le 0$

Выразим переменную $y$:

$-y \le -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$

При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный:

$y \ge \frac{1}{2}x^2 - x - 4$

Это неравенство описывает множество точек на координатной плоскости, расположенных на параболе $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4$ и в области над ней.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих условию $y \ge \frac{1}{2}x^2 - x - 4$, то есть точки, лежащие на параболе $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 4$ и выше неё.

б) Подставим значения $a = c = 1, b = 0, d = -4, k = 6, p = 9$ в исходное неравенство:

$1 \cdot x^2 + 0 \cdot xy + 1 \cdot y^2 + (-4)x + 6y + 9 \le 0$

$x^2 - 4x + y^2 + 6y + 9 \le 0$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты, чтобы привести уравнение к каноническому виду:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) \le 0$

Свернем полные квадраты:

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 \le 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 \le 4$

$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 \le 2^2$

Это неравенство описывает замкнутый круг с центром в точке $(2, -3)$ и радиусом $R=2$.

Ответ: Множество точек, образующих замкнутый круг с центром в точке $(2, -3)$ и радиусом $2$.

в) Подставим значения $a = c = d = k = 0, b = 2, p = -16$ в исходное неравенство:

$0 \cdot x^2 + 2xy + 0 \cdot y^2 + 0 \cdot x + 0 \cdot y + (-16) \le 0$

Упростим выражение:

$2xy - 16 \le 0$

$2xy \le 16$

$xy \le 8$

Для определения множества решений рассмотрим три случая:

1. Если $x > 0$, то, разделив обе части на положительное число $x$, получим $y \le \frac{8}{x}$. Это область, включающая ветвь гиперболы $y=\frac{8}{x}$ в первой координатной четверти и все точки под ней.

2. Если $x < 0$, то при делении на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \ge \frac{8}{x}$. Это область, включающая ветвь гиперболы $y=\frac{8}{x}$ в третьей координатной четверти и все точки над ней.

3. Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot y \le 8$, то есть $0 \le 8$, что является верным для любого значения $y$. Следовательно, вся ось ординат (прямая $x=0$) также является решением.

Объединяя эти три случая, получаем, что решением является множество точек, расположенных между ветвями гиперболы $y = \frac{8}{x}$, включая саму гиперболу и ось ординат.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих условию $xy \le 8$.