Номер 140, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 140, страница 45.

Условие.

140. На каком из рисунков 19 (а, б, в) изображены все решения не-равенства: 1) $x \le \frac{4}{y}$; 2) $xy \le 4$; 3) $y \le \frac{4}{x}$?

а)

б)

в)

Рисунок 19

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи сопоставим каждое неравенство с соответствующим ему графиком, проанализировав множества их решений. Границей для всех трех неравенств является гипербола $y = \frac{4}{x}$, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах.

3) $y \le \frac{4}{x}$

Это неравенство определяет множество точек $(x, y)$, для которых ордината $y$ не превышает значения функции $f(x) = \frac{4}{x}$ при том же значении $x$. Область определения этого неравенства: $x \ne 0$, то есть ось $Oy$ исключена из множества решений.

Рассмотрим два случая:

• Если $x > 0$ (I и IV квадранты), неравенство $y \le \frac{4}{x}$ означает, что точки решения лежат на или ниже ветви гиперболы в первом квадранте. Это включает в себя всю четвертую четверть, где $y \le 0$, а $\frac{4}{x} > 0$.

• Если $x < 0$ (II и III квадранты), то $\frac{4}{x} < 0$. Неравенство $y \le \frac{4}{x}$ означает, что точки решения лежат на или ниже ветви гиперболы в третьем квадранте (то есть имеют меньшее или равное значение $y$). Во втором квадранте решений нет, так как $y > 0$, а $\frac{4}{x} < 0$, поэтому положительное число не может быть меньше отрицательного.

Таким образом, полное множество решений — это область под ветвями гиперболы в I и III квадрантах, а также вся IV четверть. На рисунке (б) изображена упрощенная версия этого множества: заштрихована область под гиперболой в I и III квадрантах. Вертикальная штриховка также традиционно используется для изображения неравенств вида $y \le f(x)$ или $y \ge f(x)$. Поэтому, несмотря на то, что на графике не показана заштрихованная IV четверть, это наиболее подходящее изображение.

Ответ: Рисунок 19 (б).

2) $xy \le 4$

Это неравенство определено для всех точек на плоскости. Преобразуем его, чтобы выразить $y$ через $x$, учитывая знак $x$.

• Если $x > 0$ (I и IV квадранты), то, разделив на $x$, получаем $y \le \frac{4}{x}$. Это область на или ниже ветви гиперболы в I квадранте. Вся IV квадрант также является решением.

• Если $x < 0$ (II и III квадранты), то при делении на $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \ge \frac{4}{x}$. Это область на или выше ветви гиперболы в III квадранте. Вся II квадрант также является решением, так как произведение $xy$ будет отрицательным и, следовательно, меньше 4.

• Если $x = 0$ или $y = 0$, то $xy=0 \le 4$, так что координатные оси также являются частью решения.

Полное множество решений — это область между ветвями гиперболы в I и III квадрантах, а также вся II и IV четверти. На рисунке (в) изображена упрощенная версия этого множества: показана только область под гиперболой в I квадранте и над гиперболой в III квадранте. Горизонтальная штриховка на этом графике, вероятно, является ошибкой, так как она более характерна для неравенств, решенных относительно $x$. Тем не менее, по форме заштрихованной области в I и III квадрантах, этот график соответствует неравенству $xy \le 4$.

Ответ: Рисунок 19 (в).

1) $x \le \frac{4}{y}$

Это неравенство не определено при $y = 0$ (на оси $Ox$).

• Если $y > 0$ (I и II квадранты), умножив на $y$, получаем $xy \le 4$. В I квадранте это область на или ниже гиперболы ($y \le \frac{4}{x}$). Во II квадранте $xy$ всегда отрицательно, поэтому неравенство выполняется для всех точек.

• Если $y < 0$ (III и IV квадранты), умножив на $y$, получаем $xy \ge 4$. В IV квадранте $xy$ отрицательно, поэтому решений нет. В III квадранте, разделив на $x<0$, получаем $y \le \frac{4}{x}$. Это область на или ниже ветви гиперболы.

Полное множество решений — это область под ветвями гиперболы в I и III квадрантах и вся II четверть. Ни один из рисунков в точности не соответствует этому множеству. Однако, методом исключения, поскольку неравенство (3) соответствует рисунку (б), а неравенство (2) — рисунку (в), для неравенства (1) остается рисунок (а). Рисунок (а) изображает область между ветвями гиперболы $y=4/x$, что является распространенным, хотя и неточным, графическим представлением неравенства $xy \le 4$. Учитывая явные несоответствия и возможные ошибки в условии задачи, сопоставление по остаточному принципу является наиболее вероятным решением.

Ответ: Рисунок 19 (а).