Номер 144, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 144, страница 49.

Условие.

144. Проведите исследование и составьте систему неравенств, множество решений которой изображено на рисунке 24, а, б.

a)

$y = -(x - 3)^2 + 2$

б)

Рисунок 24

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Заштрихованная на рисунке область ограничена двумя линиями: параболой сверху и горизонтальной прямой снизу.

Верхняя граница — это парабола, уравнение которой дано на графике: $y = -(x-3)^2 + 2$. Поскольку линия параболы сплошная, а закрашенная область находится ниже нее, то все точки этой области удовлетворяют неравенству $y \le -(x-3)^2 + 2$.

Нижняя граница — это горизонтальная прямая, проходящая через $y = -1$. Эта линия изображена пунктиром, что означает, что точки на самой прямой не входят в множество решений. Закрашенная область находится выше этой прямой, следовательно, второе неравенство будет строгим: $y > -1$.

Объединяя эти два условия, получаем систему неравенств.

Ответ: $\begin{cases} y \le -(x-3)^2 + 2 \\ y > -1 \end{cases}$

б) Заштрихованная на рисунке область является пересечением двух фигур: круга и полуплоскости.

Первая граница — это окружность. Из графика видно, что ее центр находится в точке с координатами $(2, 1)$. Радиус окружности равен 2, так как она проходит через точки $(0, 1)$, $(4, 1)$, $(2, 3)$ и $(2, -1)$. Уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ имеет вид $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. Для нашего случая уравнение будет $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 2^2 = 4$. Так как граница окружности пунктирная, а заштрихована область внутри нее, соответствующее неравенство будет строгим: $(x-2)^2 + (y-1)^2 < 4$.

Вторая граница — это вертикальная прямая $x=3$. Эта линия сплошная, а закрашенная область находится левее нее. Следовательно, все точки области удовлетворяют неравенству $x \le 3$.

Таким образом, искомая система неравенств описывает пересечение внутренности круга и полуплоскости, расположенной слева от прямой $x=3$.

Ответ: $\begin{cases} (x-2)^2 + (y-1)^2 < 4 \\ x \le 3 \end{cases}$