Номер 149, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 149, страница 50.

Условие.

149. Решите графически систему неравенств:

a) $ \begin{cases} y \ge x^2, \\ y < 5 - x^2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y \ge x^2 - 2x - 3, \\ y < x + 1; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y \le \sqrt{x}, \\ y \ge (x - 3)^2 - 3; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x < y < 0, \\ y < \frac{1}{2}x^3. \end{cases} $

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y \ge x^2, \\ y < 5 - x^2; \end{cases} $

1. Первое неравенство $y \ge x^2$. Границей является парабола $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки на параболе включаются в решение, и ее линия изображается сплошной.

Решением неравенства $y \ge x^2$ является область, расположенная выше параболы $y = x^2$, включая саму параболу.

2. Второе неравенство $y < 5 - x^2$. Границей является парабола $y = 5 - x^2$. Это парабола, полученная из $y = -x^2$ сдвигом вверх на 5 единиц. Ее вершина находится в точке $(0, 5)$, а ветви направлены вниз. Поскольку неравенство строгое ($<$), точки на параболе не включаются в решение, и ее линия изображается пунктирной.

Решением неравенства $y < 5 - x^2$ является область, расположенная ниже параболы $y = 5 - x^2$.

3. Для нахождения области, удовлетворяющей обоим неравенствам, найдем точки пересечения их границ:

$x^2 = 5 - x^2$

$2x^2 = 5$

$x^2 = 5/2$

$x = \pm\sqrt{5/2} = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}$.

Найдем соответствующие значения $y$: $y = x^2 = 5/2 = 2.5$.

Точки пересечения: $(-\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{5}{2})$ и $(\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{5}{2})$.

4. Решением системы является пересечение областей, найденных в пунктах 1 и 2. Это область, заключенная между двумя параболами. Нижняя граница ($y=x^2$) является сплошной линией, а верхняя граница ($y=5-x^2$) — пунктирной.

Ответ: Решением системы является множество точек на плоскости, расположенных внутри области, ограниченной снизу параболой $y = x^2$ (включая границу) и сверху параболой $y = 5 - x^2$ (не включая границу).

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y \ge x^2 - 2x - 3, \\ y < x + 1; \end{cases} $

1. Первое неравенство $y \ge x^2 - 2x - 3$. Границей является парабола $y = x^2 - 2x - 3$. Найдем ее вершину: $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_v = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(1, -4)$, ветви направлены вверх. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому линия параболы сплошная.

Решением является область выше параболы, включая ее саму.

2. Второе неравенство $y < x + 1$. Границей является прямая $y = x + 1$. Это прямая с угловым коэффициентом 1, проходящая через точку $(0, 1)$. Неравенство строгое ($<$), поэтому линия прямая изображается пунктирной.

Решением является полуплоскость ниже этой прямой.

3. Найдем точки пересечения параболы и прямой:

$x^2 - 2x - 3 = x + 1$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x=4$, то $y = 4 + 1 = 5$. Точка $(4, 5)$.

Если $x=-1$, то $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.

4. Решением системы является пересечение двух областей. Это область, ограниченная снизу параболой $y = x^2 - 2x - 3$ и сверху прямой $y = x + 1$. Параболическая граница сплошная, а прямолинейная — пунктирная.

Ответ: Решением системы является множество точек, расположенных внутри области, ограниченной снизу параболой $y = x^2 - 2x - 3$ (включая границу) и сверху прямой $y = x + 1$ (не включая границу).

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y \le \sqrt{x}, \\ y \ge (x - 3)^2 - 3; \end{cases} $

1. Первое неравенство $y \le \sqrt{x}$. Область определения $x \ge 0$. Границей является кривая $y = \sqrt{x}$, которая представляет собой верхнюю ветвь параболы $x=y^2$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому линия сплошная.

Решением является область под кривой $y=\sqrt{x}$ (для $x \ge 0$).

2. Второе неравенство $y \ge (x - 3)^2 - 3$. Границей является парабола $y = (x - 3)^2 - 3$. Это парабола с вершиной в точке $(3, -3)$ и ветвями, направленными вверх. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому линия параболы сплошная.

Решением является область выше параболы, включая ее саму.

3. Найдем точки пересечения границ. Приравняем $y$:

$\sqrt{x} = (x - 3)^2 - 3$

Подбором можно найти одну точку пересечения: при $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$ и $y = (1-3)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Таким образом, точка $(1, 1)$ является точкой пересечения. Вторая точка пересечения имеет координаты $(\frac{7+\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2})$.

4. Решением системы является пересечение двух областей. Это область, ограниченная сверху кривой $y = \sqrt{x}$ и снизу параболой $y = (x-3)^2-3$. Обе границы сплошные.

Ответ: Решением системы является множество точек, расположенных внутри области, ограниченной сверху кривой $y = \sqrt{x}$ и снизу параболой $y = (x - 3)^2 - 3$, включая обе границы.

г)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x < y < 0, \\ y < \frac{1}{2}x^3; \end{cases} $

1. Первое двойное неравенство $x < y < 0$ можно разбить на два: $y > x$ и $y < 0$.

- $y > x$: Решением является полуплоскость выше прямой $y=x$. Граница (прямая $y=x$) пунктирная, так как неравенство строгое.

- $y < 0$: Решением является полуплоскость ниже оси абсцисс (оси Ox). Граница (ось $y=0$) пунктирная.

- Вместе эти два условия определяют область в третьем квадранте между прямой $y=x$ и осью Ox.

2. Второе неравенство $y < \frac{1}{2}x^3$. Границей является кубическая парабола $y = \frac{1}{2}x^3$. Она проходит через начало координат. Неравенство строгое ($<$), поэтому линия пунктирная.

Решением является область под этой кривой.

3. Найдем точки пересечения границ $y=x$ и $y=\frac{1}{2}x^3$:

$x = \frac{1}{2}x^3$

$x - \frac{1}{2}x^3 = 0$

$x(1 - \frac{1}{2}x^2) = 0$

Отсюда $x=0$ или $1 - \frac{1}{2}x^2 = 0 \implies x^2=2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Точки пересечения: $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

4. Нам нужно найти пересечение трех областей: $y > x$, $y < 0$ и $y < \frac{1}{2}x^3$.

Объединим условия: $x < y < 0$ и $y < \frac{1}{2}x^3$.

Это означает, что $y$ должно быть одновременно больше $x$ и меньше $\frac{1}{2}x^3$. То есть $x < y < \frac{1}{2}x^3$. Такое возможно, только если $x < \frac{1}{2}x^3$. Это неравенство выполняется для $x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Условие $y < 0$ исключает интервал $(\sqrt{2}, \infty)$, так как там $y > x > \sqrt{2} > 0$.

Следовательно, решение существует только для $x \in (-\sqrt{2}, 0)$. В этом интервале $\frac{1}{2}x^3 < 0$, поэтому условие $y < \frac{1}{2}x^3$ автоматически влечет за собой $y < 0$.

Таким образом, итоговое решение представляет собой область, заданную неравенствами $x < y < \frac{1}{2}x^3$ для $x \in (-\sqrt{2}, 0)$. Это узкая область в третьем квадранте, ограниченная снизу прямой $y=x$ и сверху кривой $y=\frac{1}{2}x^3$. Все границы являются пунктирными.

Ответ: Решением системы является множество точек, расположенных в области между прямой $y=x$ и кубической параболой $y=\frac{1}{2}x^3$ на интервале $x$ от $-\sqrt{2}$ до $0$. Границы не включаются в решение.