Номер 155, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 155, страница 51.

Условие.

155. Найдите все пары натуральных чисел, являющиеся решениями системы неравенств:

a) $ \begin{cases} (x-1)^2 + (y-1)^2 \le 9, \\ y < (x-1)^2 - 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y \ge |x|, \\ 2y \le 8 - x^2; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x + 4y \le 4, \\ |x| > 4. \end{cases} $

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} (x-1)^2 + (y-1)^2 \le 9 \\ y < (x-1)^2 - 1 \end{cases}$

Мы ищем решения в натуральных числах, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Первое неравенство $(x-1)^2 + (y-1)^2 \le 9$ описывает круг с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом $3$. Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x-1 \ge 0$ и $y-1 \ge 0$. Из этого неравенства следует, что $(x-1)^2 \le 9$ и $(y-1)^2 \le 9$. Отсюда $0 \le x-1 \le 3$ и $0 \le y-1 \le 3$, что дает нам $1 \le x \le 4$ и $1 \le y \le 4$.

Рассмотрим второе неравенство: $y < (x-1)^2 - 1$. Поскольку $y$ — натуральное число, $y \ge 1$. Следовательно, должно выполняться условие $(x-1)^2 - 1 > y \ge 1$, из которого следует $(x-1)^2 - 1 > 1$, или $(x-1)^2 > 2$.

Так как $x-1$ — целое число, то $(x-1)^2$ может принимать значения $0, 1, 4, 9, \dots$. Условию $(x-1)^2 > 2$ удовлетворяют значения $(x-1)^2 \ge 4$. Это означает, что $x-1 \ge 2$, то есть $x \ge 3$.

Таким образом, нам нужно проверить натуральные числа $x \in \{3, 4\}$.

Случай 1: $x=3$. Подставим в систему:

$\begin{cases} (3-1)^2 + (y-1)^2 \le 9 \\ y < (3-1)^2 - 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4 + (y-1)^2 \le 9 \\ y < 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (y-1)^2 \le 5 \\ y < 3 \end{cases}$

Из первого неравенства, учитывая, что $y$ — натуральное число, получаем, что $(y-1)^2$ может быть $0, 1, 4$. Это соответствует $y=1, y=2, y=3$. Второе неравенство $y < 3$ оставляет нам $y=1$ и $y=2$. Получаем пары: $(3, 1)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $x=4$. Подставим в систему:

$\begin{cases} (4-1)^2 + (y-1)^2 \le 9 \\ y < (4-1)^2 - 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9 + (y-1)^2 \le 9 \\ y < 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (y-1)^2 \le 0 \\ y < 8 \end{cases}$

Из первого неравенства следует $(y-1)^2 = 0$, то есть $y=1$. Это значение удовлетворяет второму неравенству $1 < 8$. Получаем пару: $(4, 1)$.

Объединяя решения для всех случаев, получаем искомые пары.

Ответ: $(3, 1), (3, 2), (4, 1)$.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} y \ge |x| \\ 2y \le 8 - x^2 \end{cases}$

Мы ищем решения в натуральных числах, поэтому $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Для натуральных $x$ справедливо $|x| = x$. Система принимает вид:

$\begin{cases} y \ge x \\ 2y \le 8 - x^2 \end{cases}$

Из этих двух неравенств следует, что $x \le y \le \frac{8-x^2}{2}$. Для существования хотя бы одного такого натурального числа $y$ необходимо, чтобы выполнялось неравенство $x \le \frac{8-x^2}{2}$.

Решим это неравенство относительно $x$:

$2x \le 8 - x^2$

$x^2 + 2x - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. Корнями являются $x_1=-4$ и $x_2=2$. Так как ветви параболы $f(x)=x^2+2x-8$ направлены вверх, неравенство выполняется при $-4 \le x \le 2$.

Поскольку $x$ — натуральное число, возможные значения для $x$ — это $1$ и $2$.

Случай 1: $x=1$. Система для $y$ принимает вид:

$\begin{cases} y \ge 1 \\ 2y \le 8 - 1^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \ge 1 \\ 2y \le 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \ge 1 \\ y \le 3.5 \end{cases}$

Так как $y$ — натуральное число, то $y \in \{1, 2, 3\}$. Получаем пары: $(1, 1), (1, 2), (1, 3)$.

Случай 2: $x=2$. Система для $y$ принимает вид:

$\begin{cases} y \ge 2 \\ 2y \le 8 - 2^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \ge 2 \\ 2y \le 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \ge 2 \\ y \le 2 \end{cases}$

Единственное натуральное значение для $y$ — это $2$. Получаем пару: $(2, 2)$.

Объединяя все найденные пары, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2)$.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + y^2 - 2x + 4y \le 4 \\ |x| > 4 \end{cases}$

Мы ищем решения в натуральных числах, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Преобразуем первое неравенство, выделив полные квадраты:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 \le 4 + 1 + 4$

$(x-1)^2 + (y+2)^2 \le 9$

Это неравенство описывает точки внутри и на окружности с центром в $(1, -2)$ и радиусом $3$.

Второе неравенство $|x| > 4$. Поскольку $x$ — натуральное число ($x \ge 1$), это неравенство равносильно $x > 4$. Это означает, что $x$ может быть $5, 6, 7, \dots$.

Проверим, могут ли эти условия выполняться одновременно. Если $x \ge 5$, то $x-1 \ge 4$, и, следовательно, $(x-1)^2 \ge 16$.

Также, поскольку $y$ — натуральное число, $y \ge 1$, то $y+2 \ge 3$, и $(y+2)^2 \ge 9$.

Сложив эти два неравенства, получим оценку для левой части первого неравенства системы:

$(x-1)^2 + (y+2)^2 \ge 16 + 9 = 25$.

Таким образом, для любой пары натуральных чисел $(x,y)$, удовлетворяющей условию $x > 4$, должно выполняться $(x-1)^2 + (y+2)^2 \ge 25$.

Однако, согласно первому неравенству системы, должно быть $(x-1)^2 + (y+2)^2 \le 9$.

Мы пришли к противоречию: $25 \le (x-1)^2 + (y+2)^2 \le 9$, что невозможно. Следовательно, система не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: решений в натуральных числах нет.