Номер 148, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 148, страница 50.

Условие.

148. Найдите площадь фигуры, координаты каждой точки которой являются решениями системы неравенств:

а) $\begin{cases} 1 \leq x \leq 5, \\ 0 \leq y+2 \leq 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0 \leq x+1 \leq 4, \\ 0 \leq 2y-2 \leq 3. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Каждое из неравенств системы задает полосу на координатной плоскости. Пересечение этих полос образует фигуру, площадь которой нужно найти. В данном случае это будет прямоугольник.

Рассмотрим первое неравенство: $1 \le x \le 5$. Оно задает вертикальную полосу, ограниченную прямыми $x=1$ и $x=5$. Ширина этой полосы, или длина соответствующей стороны прямоугольника, равна $5 - 1 = 4$.

Рассмотрим второе неравенство: $0 \le y + 2 \le 1$. Чтобы найти границы для $y$, вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:

$0 - 2 \le y + 2 - 2 \le 1 - 2$

$-2 \le y \le -1$

Это неравенство задает горизонтальную полосу, ограниченную прямыми $y=-2$ и $y=-1$. Ширина этой полосы, или длина второй стороны прямоугольника, равна $-1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.

Таким образом, фигура представляет собой прямоугольник со сторонами 4 и 1. Его площадь $S$ равна произведению длин сторон:

$S = 4 \times 1 = 4$.

Ответ: 4.

б) Аналогично предыдущему пункту, найдем границы для переменных $x$ и $y$, чтобы определить размеры прямоугольника.

Рассмотрим первое неравенство: $0 \le x + 1 \le 4$. Вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы выразить $x$:

$0 - 1 \le x + 1 - 1 \le 4 - 1$

$-1 \le x \le 3$

Длина стороны прямоугольника, параллельной оси Ox, равна $3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.

Рассмотрим второе неравенство: $0 \le 2y - 2 \le 3$. Сначала прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$0 + 2 \le 2y - 2 + 2 \le 3 + 2$

$2 \le 2y \le 5$

Теперь разделим все части на 2:

$\frac{2}{2} \le \frac{2y}{2} \le \frac{5}{2}$

$1 \le y \le 2.5$

Длина стороны прямоугольника, параллельной оси Oy, равна $2.5 - 1 = 1.5$.

Площадь $S$ этого прямоугольника равна произведению длин его сторон:

$S = 4 \times 1.5 = 6$.

Ответ: 6.