Номер 153, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 153, страница 50.

Условие.

153. Для школы купили волейбольные и баскетбольные мячи. Если бы волейбольных мячей было куплено вдвое больше, то всех мячей было бы меньше 48. Если бы приобрели вдвое больше баскетбольных мячей, то всего мячей было бы меньше 60. Исследуйте, каково могло быть наибольшее количество купленных мячей.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $v$ — количество купленных волейбольных мячей, а $b$ — количество купленных баскетбольных мячей. Согласно условию задачи, $v$ и $b$ являются натуральными числами ($v \in \mathbb{N}$, $b \in \mathbb{N}$).

Сформулируем условия задачи в виде системы неравенств:

1. Если бы волейбольных мячей было куплено вдвое больше, то всех мячей было бы меньше 48. Это можно записать как:$2v + b < 48$

2. Если бы приобрели вдвое больше баскетбольных мячей, то всего мячей было бы меньше 60. Это можно записать как:$v + 2b < 60$

Нам нужно найти наибольшее возможное значение общего количества мячей, то есть суммы $S = v + b$.

Для этого сложим два полученных неравенства:$(2v + b) + (v + 2b) < 48 + 60$

Упростим левую и правую части:$3v + 3b < 108$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:$3(v + b) < 108$

Разделим обе части неравенства на 3:$v + b < 36$

Мы получили, что общее количество мячей $S = v + b$ должно быть строго меньше 36. Поскольку количество мячей может быть только целым числом, наибольшее возможное значение для суммы $v+b$ равно 35.

Теперь проверим, достижимо ли это значение. То есть, существуют ли такие целые положительные числа $v$ и $b$, что их сумма равна 35 и при этом выполняются исходные условия.

Пусть $v + b = 35$. Выразим $b$ через $v$: $b = 35 - v$. Подставим это выражение в исходные неравенства:

1. $2v + (35 - v) < 48$
$v + 35 < 48$
$v < 48 - 35$
$v < 13$

2. $v + 2(35 - v) < 60$
$v + 70 - 2v < 60$
$70 - v < 60$
$70 - 60 < v$
$10 < v$

Итак, мы получили двойное неравенство для $v$: $10 < v < 13$. Так как $v$ — целое число, то $v$ может быть равно 11 или 12.

Рассмотрим один из возможных случаев, например, $v=11$:Если $v=11$, то $b = 35 - 11 = 24$.Проверим выполнение исходных условий:1. $2(11) + 24 = 22 + 24 = 46$. $46 < 48$ (верно).2. $11 + 2(24) = 11 + 48 = 59$. $59 < 60$ (верно).

Оба числа ($v=11, b=24$) являются натуральными, и их сумма равна 35. Следовательно, наибольшее возможное количество купленных мячей действительно равно 35.

Ответ: Наибольшее количество купленных мячей могло быть 35.