Номер 156, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 156, страница 51.

Условие.

156. Решите графически неравенство, используя системы неравенств:

а) $xy \le 0$;

б) $(x-3)(2y-x) > 0$;

в) $x^2-y^2 \ge 0$;

г) $y^2-y < x-yx.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Неравенство $xy \le 0$ означает, что произведение координат $x$ и $y$ должно быть неположительным. Это возможно в двух случаях: когда один из сомножителей неположителен, а другой неотрицателен. Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Система 1: $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \le 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x \le 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$

Графически первая система описывает все точки, находящиеся в четвертой координатной четверти ($x \ge 0, y \le 0$), включая ее границы — положительную полуось $Ox$ и отрицательную полуось $Oy$.

Вторая система описывает все точки, находящиеся во второй координатной четверти ($x \le 0, y \ge 0$), включая ее границы — отрицательную полуось $Ox$ и положительную полуось $Oy$.

Решением исходного неравенства является объединение решений этих двух систем.

Ответ: Множество точек второй и четвертой координатных четвертей, включая оси координат.

б) Неравенство $(x - 3)(2y - x) > 0$ означает, что произведение двух множителей должно быть положительным. Это возможно, когда оба множителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны). Неравенство равносильно совокупности двух систем:

Система 1: $\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 2y - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ y > \frac{x}{2} \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x - 3 < 0 \\ 2y - x < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 3 \\ y < \frac{x}{2} \end{cases}$

Границами областей являются прямые $x = 3$ и $y = \frac{x}{2}$. Так как неравенство строгое, сами прямые в решение не входят и на чертеже изображаются пунктиром.

Решение первой системы — это область, расположенная правее прямой $x = 3$ и выше прямой $y = \frac{x}{2}$.

Решение второй системы — это область, расположенная левее прямой $x = 3$ и ниже прямой $y = \frac{x}{2}$.

Итоговое решение — это объединение этих двух областей.

Ответ: Объединение двух областей: первая задается системой $x > 3, y > \frac{x}{2}$, вторая — системой $x < 3, y < \frac{x}{2}$. Графически это два вертикальных угла, образованных пересечением прямых $x=3$ и $y=\frac{x}{2}$, не включающих сами прямые.

в) Преобразуем неравенство $x^2 - y^2 \ge 0$, используя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) \ge 0$.

Произведение двух множителей неотрицательно, когда они одного знака или один из них равен нулю. Неравенство равносильно совокупности двух систем:

Система 1: $\begin{cases} x - y \ge 0 \\ x + y \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le x \\ y \ge -x \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x - y \le 0 \\ x + y \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge x \\ y \le -x \end{cases}$

Границами областей являются прямые $y = x$ и $y = -x$ (биссектрисы координатных углов). Так как неравенство нестрогое, точки на этих прямых входят в решение.

Решение первой системы — это область, расположенная ниже или на прямой $y=x$ и выше или на прямой $y=-x$. Эта область содержит положительную полуось $Ox$.

Решение второй системы — это область, расположенная выше или на прямой $y=x$ и ниже или на прямой $y=-x$. Эта область содержит отрицательную полуось $Ox$.

Общим решением является объединение этих двух областей.

Ответ: Множество точек, лежащих в двух вертикальных углах, образованных прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержащих ось $Ox$. Границы углов (сами прямые) включены в решение.

г) Преобразуем неравенство $y^2 - y < x - yx$. Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:

$y^2 - y - x + yx < 0$

$(y^2 + yx) - (y + x) < 0$

$y(y + x) - 1(y + x) < 0$

$(y - 1)(y + x) < 0$

Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Неравенство равносильно совокупности двух систем:

Система 1: $\begin{cases} y - 1 > 0 \\ y + x < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > 1 \\ y < -x \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} y - 1 < 0 \\ y + x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y < 1 \\ y > -x \end{cases}$

Границами областей являются прямые $y = 1$ и $y = -x$. Так как неравенство строгое, точки на этих прямых не входят в решение.

Решение первой системы — это область, расположенная выше прямой $y = 1$ и ниже прямой $y = -x$.

Решение второй системы — это область, расположенная ниже прямой $y = 1$ и выше прямой $y = -x$.

Итоговое решение — это объединение этих двух областей.

Ответ: Объединение двух областей: первая задается системой $y > 1, y < -x$, вторая — системой $y < 1, y > -x$. Графически это два вертикальных угла, образованных пересечением прямых $y=1$ и $y=-x$, не включающих сами прямые.