Номер 161, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 161, страница 52.

Условие.

161. Из пункта, расположенного у подножия горы, вышли альпинисты на север и туристы – на восток. Они двигались с постоянными скоростями, причем туристы быстрее. Через два часа расстояние между ними было не больше 8 км. Установите:

а) могла ли скорость альпинистов быть равной $3 \text{ км/ч}$;

б) с какой наибольшей скоростью $ (\text{км/ч}) $, выраженной целым числом, могли двигаться альпинисты.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $v_a$ — скорость альпинистов (км/ч), а $v_t$ — скорость туристов (км/ч). Время движения $t = 2$ часа.

За 2 часа альпинисты, двигаясь на север, прошли расстояние $d_a = v_a \cdot t = 2v_a$ км.Туристы, двигаясь на восток, прошли расстояние $d_t = v_t \cdot t = 2v_t$ км.

Поскольку альпинисты двигались на север, а туристы — на восток, их пути перпендикулярны. Расстояние между ними $D$ можно найти по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются пройденные ими расстояния:$D^2 = d_a^2 + d_t^2$$D^2 = (2v_a)^2 + (2v_t)^2 = 4v_a^2 + 4v_t^2 = 4(v_a^2 + v_t^2)$

По условию, через 2 часа расстояние между ними было не больше 8 км, то есть $D \le 8$. Возведя в квадрат, получаем $D^2 \le 64$.Подставим выражение для $D^2$:$4(v_a^2 + v_t^2) \le 64$Разделим обе части на 4:$v_a^2 + v_t^2 \le 16$

Также по условию туристы двигались быстрее альпинистов, значит $v_t > v_a$.

а) могла ли скорость альпинистов быть равной 3 км/ч;
Предположим, что скорость альпинистов $v_a = 3$ км/ч. Подставим это значение в наше основное неравенство:$3^2 + v_t^2 \le 16$$9 + v_t^2 \le 16$$v_t^2 \le 16 - 9$$v_t^2 \le 7$Так как скорость не может быть отрицательной, $v_t \le \sqrt{7}$.

Теперь учтем второе условие: $v_t > v_a$. В данном случае $v_t > 3$.

Получили систему из двух условий для скорости туристов:$v_t > 3$$v_t \le \sqrt{7}$

Сравним числа 3 и $\sqrt{7}$. Возведем их в квадрат: $3^2=9$, а $(\sqrt{7})^2=7$.Поскольку $9 > 7$, то и $3 > \sqrt{7}$.Невозможно, чтобы скорость $v_t$ была одновременно больше 3 и меньше или равна $\sqrt{7}$. Таким образом, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: нет, не могла.

б) с какой наибольшей скоростью (км/ч), выраженной целым числом, мог ли двигаться альпинисты.
Нам нужно найти наибольшее целое значение $v_a$, при котором система неравенств имеет решение:$v_a^2 + v_t^2 \le 16$$v_t > v_a$

Из второго неравенства следует, что $v_t^2 > v_a^2$. Подставим это в первое неравенство, чтобы найти предельное значение для $v_a$:$v_a^2 + v_a^2 < v_a^2 + v_t^2 \le 16$$2v_a^2 < 16$$v_a^2 < 8$$v_a < \sqrt{8}$

Оценим значение $\sqrt{8}$: так как $2^2=4$ и $3^2=9$, то $2 < \sqrt{8} < 3$.Значит, скорость альпинистов должна быть меньше $\sqrt{8} \approx 2.83$ км/ч.Наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $v_a < \sqrt{8}$, это 2.

Проверим, может ли скорость альпинистов быть равной 2 км/ч.Если $v_a = 2$, то система неравенств примет вид:$2^2 + v_t^2 \le 16 \implies 4 + v_t^2 \le 16 \implies v_t^2 \le 12 \implies v_t \le \sqrt{12}$$v_t > 2$

Получаем, что скорость туристов должна удовлетворять условию $2 < v_t \le \sqrt{12}$.Так как $2^2=4$ и $(\sqrt{12})^2=12$, то $2 < \sqrt{12}$, следовательно, такие значения $v_t$ существуют (например, $v_t = 3$ км/ч, так как $2 < 3 \le \sqrt{12}$).Значит, наибольшая целочисленная скорость альпинистов может быть 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.