Занимательные задачи 2, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - страница 53.

Условие.

2) Козу привязывают веревкой длиной 3 м к колечку, которое скользит по натянутой между двумя колышками $A$ и $B$ проволоке длиной 4 м. Постройте в прямоугольной системе координат фигуру, изображающую множество всех точек пастбища, до которых может дотянуться коза, если отрезок $AB$ лежит на оси $Ox$, а его серединой является начало координат.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для упрощения данного выражения рассмотрим каждый множитель (каждую скобку) по отдельности.

Упрощение первого множителя

Первый множитель: $(\sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}})$.

Преобразуем каждый член в скобках. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на сопряженное к знаменателю выражение.

Первый член:$\sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin \alpha)^2}{1 - \sin^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha}} = \frac{|1 - \sin \alpha|}{|\cos \alpha|}$.

Согласно условию, $\alpha$ — острый угол, следовательно, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. В этом интервале $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ положительны, и $0 < \sin \alpha < 1$.Это означает, что $1 - \sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$.Поэтому $|1 - \sin \alpha| = 1 - \sin \alpha$ и $|\cos \alpha| = \cos \alpha$.Таким образом, первый член равен $\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Второй член:$\sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin \alpha)^2}{1 - \sin^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha}} = \frac{|1 + \sin \alpha|}{|\cos \alpha|}$.

Поскольку $1 + \sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$, второй член равен $\frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Теперь найдем значение всего выражения в первой скобке:$\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 - \sin \alpha - (1 + \sin \alpha)}{\cos \alpha} = \frac{1 - \sin \alpha - 1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-2 \sin \alpha}{\cos \alpha} = -2 \tan \alpha$.

Упрощение второго множителя

Второй множитель: $(\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}})$.

Действуем аналогично.Первый член: $\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos \alpha)^2}{1 - \cos^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha}} = \frac{|1 - \cos \alpha|}{|\sin \alpha|}$.Так как $\alpha$ — острый угол, $1 - \cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha > 0$. Значит, член равен $\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Второй член: $\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos \alpha)^2}{1 - \cos^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha}} = \frac{|1 + \cos \alpha|}{|\sin \alpha|}$.Так как $1 + \cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha > 0$, член равен $\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Значение выражения во второй скобке:$\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha - (1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha - 1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-2 \cos \alpha}{\sin \alpha} = -2 \cot \alpha$.

Итоговое вычисление

Перемножим упрощенные выражения для каждого множителя:$(-2 \tan \alpha) \cdot (-2 \cot \alpha) = 4 \tan \alpha \cot \alpha$.

Используя тождество $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$, получаем:$4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: 4