Занимательные задачи 1, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - страница 53.

Условие.

1) Предложите кому-либо из товарищей к порядковому номеру месяца его рождения, увеличенному вдвое, прибавить 5. Затем полученную сумму увеличить в 50 раз, от результата отнять 365 и прибавить его возраст. Как по ответу товарища можно определить, сколько ему лет и в каком месяце он родился?

Решение.

Решение 2 (rus).

2) Для решения уравнения $\sin x = \text{sign } x$ необходимо рассмотреть три случая, которые следуют из определения функции $\text{sign } x$.

Если $x > 0$, то по определению $\text{sign } x = 1$. Уравнение принимает вид $\sin x = 1$. Общее решение для этого уравнения — $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Из этих решений нужно выбрать те, которые удовлетворяют условию $x > 0$: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n > 0$, что эквивалентно $n > -\frac{1}{4}$. Поскольку $n$ — целое число, это неравенство выполняется для всех целых неотрицательных $n$ ($n \ge 0$).

Если $x = 0$, то по определению $\text{sign } x = 0$. Уравнение принимает вид $\sin x = 0$. Подставляя $x=0$ в левую часть, получаем $\sin 0 = 0$. Равенство $0=0$ является верным, следовательно, $x=0$ — это решение.

Если $x < 0$, то по определению $\text{sign } x = -1$. Уравнение принимает вид $\sin x = -1$. Общее решение для этого уравнения — $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Из этих решений нужно выбрать те, которые удовлетворяют условию $x < 0$: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0$, что эквивалентно $k < \frac{1}{4}$. Поскольку $k$ — целое число, это неравенство выполняется для всех целых неположительных $k$ ($k \le 0$).

Объединяя решения из всех трех случаев, получаем итоговый результат.
Ответ: $x=0$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n \ge 0$); $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое неположительное число ($k \le 0$).