Номер 169, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 169, страница 54.

Условие.

169. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 3x - 4y = 0, \\ x^2 + y^2 = 25; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + y = 2, \\ xy = -15; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 4xy = 5, \\ 3x^2 = 5; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 = 2, \\ x^2 + xy = 3. \end{cases} $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 4y = 0 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$3x = 4y \implies x = \frac{4}{3}y$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$(\frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 25$
$\frac{16}{9}y^2 + y^2 = 25$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{16y^2 + 9y^2}{9} = 25$
$\frac{25y^2}{9} = 25$
Разделим обе части на 25:
$\frac{y^2}{9} = 1 \implies y^2 = 9$.
Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = \frac{4}{3}y$.
1) Если $y_1 = 3$, то $x_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$. Получаем решение $(4, 3)$.
2) Если $y_2 = -3$, то $x_2 = \frac{4}{3} \cdot (-3) = -4$. Получаем решение $(-4, -3)$.
Ответ: $(4, 3)$, $(-4, -3)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 2 \\ xy = -15 \end{cases} $
Эта система является системой уравнений, которая может быть решена с помощью теоремы Виета. Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим значения из системы: $t^2 - 2t - 15 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2} = 5$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 8}{2} = -3$.
Корни уравнения $t_1$ и $t_2$ являются решениями системы для $x$ и $y$.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(5, -3)$ и $(-3, 5)$.
Ответ: $(5, -3)$, $(-3, 5)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4xy = 5 \\ 3x^2 = 5 \end{cases} $
Из второго уравнения найдем возможные значения для $x$:
$x^2 = \frac{5}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{3}$.
Получаем два значения: $x_1 = \frac{\sqrt{15}}{3}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{15}}{3}$.
Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{5}{4x}$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$.
1) Если $x_1 = \frac{\sqrt{15}}{3}$, то $y_1 = \frac{5}{4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{3}} = \frac{15}{4\sqrt{15}} = \frac{15\sqrt{15}}{4 \cdot 15} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Получаем решение $(\frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{4})$.
2) Если $x_2 = -\frac{\sqrt{15}}{3}$, то $y_2 = \frac{5}{4 \cdot (-\frac{\sqrt{15}}{3})} = -\frac{15}{4\sqrt{15}} = -\frac{15\sqrt{15}}{4 \cdot 15} = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.
Получаем решение $(-\frac{\sqrt{15}}{3}, -\frac{\sqrt{15}}{4})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{4})$, $(-\frac{\sqrt{15}}{3}, -\frac{\sqrt{15}}{4})$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 = 2 \\ x^2 + xy = 3 \end{cases} $
Подставим значение $x^2 = 2$ из первого уравнения во второе:
$2 + xy = 3$
$xy = 3 - 2 \implies xy = 1$.
Теперь решаем новую, более простую систему: $ \begin{cases} x^2 = 2 \\ xy = 1 \end{cases} $
Из первого уравнения $x^2 = 2$ находим $x$:
$x = \pm\sqrt{2}$.
Получаем два значения: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.
Из второго уравнения $xy = 1$ выражаем $y$: $y = \frac{1}{x}$.
Найдем соответствующие значения $y$:
1) Если $x_1 = \sqrt{2}$, то $y_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Получаем решение $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
2) Если $x_2 = -\sqrt{2}$, то $y_2 = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Получаем решение $(-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.