Номер 164, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 164, страница 53.

Условие.

164. Установите, сколько пар (x; y) натуральных чисел являются решениями системы неравенств:

a) $ \begin{cases} y \le x^3 \\ x^2 + y^2 \le 9 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 - 4x \le y - 5 \\ x^2 - 6x \le 3 - y \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y \le \frac{1}{2}x^2 + 1 \\ \vert x \vert \le 2 \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y < \sqrt{4x - x^2} \\ y > 0 \end{cases} $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дана система неравенств: $ \begin{cases} y \le x^3 \\ x^2 + y^2 \le 9 \end{cases} $
Мы ищем решения в натуральных числах, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Из второго неравенства $x^2 + y^2 \le 9$, учитывая, что $y \ge 1 \implies y^2 \ge 1$, получаем $x^2 \le 9 - y^2 \le 9 - 1 = 8$.
Так как $x$ - натуральное число, то $x$ может принимать значения 1 или 2 (поскольку $3^2 = 9 > 8$).
Рассмотрим каждый случай:
1. Если $x = 1$:
Система принимает вид: $ \begin{cases} y \le 1^3 \\ 1^2 + y^2 \le 9 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le 1 \\ y^2 \le 8 \end{cases} $
Поскольку $y$ - натуральное число, единственное возможное значение - это $y = 1$. Пара (1; 1) является решением.
2. Если $x = 2$:
Система принимает вид: $ \begin{cases} y \le 2^3 \\ 2^2 + y^2 \le 9 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le 8 \\ y^2 \le 5 \end{cases} $
Поскольку $y$ - натуральное число, $y^2$ может быть 1 или 4. Значит, $y$ может быть 1 или 2. Оба значения удовлетворяют условию $y \le 8$.
Таким образом, получаем еще два решения: (2; 1) и (2; 2).
Всего найдено 3 пары натуральных чисел: (1; 1), (2; 1), (2; 2).
Ответ: 3

б) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4x \le y - 5 \\ x^2 - 6x \le 3 - y \end{cases} $
Выразим $y$ из обоих неравенств: $ \begin{cases} y \ge x^2 - 4x + 5 \\ y \le -x^2 + 6x + 3 \end{cases} $
Это означает, что $x^2 - 4x + 5 \le y \le -x^2 + 6x + 3$.
Для существования хотя бы одного целочисленного решения $y$, необходимо, чтобы нижняя граница была не больше верхней:
$x^2 - 4x + 5 \le -x^2 + 6x + 3$
$2x^2 - 10x + 2 \le 0$
$x^2 - 5x + 1 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 1 = 0$: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Приближенные значения корней: $x_1 \approx \frac{5 - 4.58}{2} \approx 0.21$, $x_2 \approx \frac{5 + 4.58}{2} \approx 4.79$.
Неравенство $x^2 - 5x + 1 \le 0$ выполняется для $x \in [\frac{5 - \sqrt{21}}{2}; \frac{5 + \sqrt{21}}{2}]$.
Поскольку $x$ - натуральное число, возможные значения для $x$: 1, 2, 3, 4.
1. При $x = 1$: $1 - 4 + 5 \le y \le -1 + 6 + 3 \implies 2 \le y \le 8$. Количество натуральных $y$: $8 - 2 + 1 = 7$.
2. При $x = 2$: $4 - 8 + 5 \le y \le -4 + 12 + 3 \implies 1 \le y \le 11$. Количество натуральных $y$: $11 - 1 + 1 = 11$.
3. При $x = 3$: $9 - 12 + 5 \le y \le -9 + 18 + 3 \implies 2 \le y \le 12$. Количество натуральных $y$: $12 - 2 + 1 = 11$.
4. При $x = 4$: $16 - 16 + 5 \le y \le -16 + 24 + 3 \implies 5 \le y \le 11$. Количество натуральных $y$: $11 - 5 + 1 = 7$.
Общее количество пар: $7 + 11 + 11 + 7 = 36$.
Ответ: 36

в) Дана система неравенств: $ \begin{cases} y \le \frac{1}{2}x^2 + 1 \\ |x| \le 2 \end{cases} $
Мы ищем решения в натуральных числах, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Из второго неравенства $|x| \le 2$ следует, что $-2 \le x \le 2$. Так как $x$ - натуральное число, то $x$ может быть 1 или 2.
1. Если $x = 1$:
$y \le \frac{1}{2}(1)^2 + 1 \implies y \le 1.5$.
Единственное натуральное значение для $y$ - это 1. Получаем пару (1; 1).
2. Если $x = 2$:
$y \le \frac{1}{2}(2)^2 + 1 \implies y \le 2 + 1 \implies y \le 3$.
Натуральные значения для $y$: 1, 2, 3. Получаем три пары: (2; 1), (2; 2), (2; 3).
Общее количество пар: $1 + 3 = 4$.
Ответ: 4

г) Дана система неравенств: $ \begin{cases} y < \sqrt{4x - x^2} \\ y > 0 \end{cases} $
Мы ищем решения в натуральных числах, поэтому $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Условие $y > 0$ выполняется автоматически.
Для того чтобы выражение под корнем было определено, должно выполняться $4x - x^2 \ge 0$, или $x(4 - x) \ge 0$.
Это неравенство справедливо для $x \in [0, 4]$.
Кроме того, так как $y \ge 1$, то из первого неравенства следует $\sqrt{4x - x^2} > y \ge 1$, что означает $\sqrt{4x - x^2} > 1$, или $4x - x^2 > 1$.
$x^2 - 4x + 1 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$ равны $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$x \in (2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$. Приближенно $x \in (0.27, 3.73)$.
Возможные натуральные значения для $x$: 1, 2, 3.
Рассмотрим каждый случай:
1. При $x = 1$: $y < \sqrt{4(1) - 1^2} = \sqrt{3} \approx 1.732$. Единственное натуральное $y$ - это 1. Пара (1; 1).
2. При $x = 2$: $y < \sqrt{4(2) - 2^2} = \sqrt{4} = 2$. Единственное натуральное $y$ - это 1. Пара (2; 1).
3. При $x = 3$: $y < \sqrt{4(3) - 3^2} = \sqrt{3} \approx 1.732$. Единственное натуральное $y$ - это 1. Пара (3; 1).
Общее количество пар: $1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: 3