Номер 157, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 157, страница 51.

Условие.

157. Установите, сколько пар целых чисел $(x; y)$ являются решениями

системы неравенств $ \begin{cases} y \le \frac{1}{2}x^2 + 2, \\ y \ge -2\sqrt{x}. \end{cases} $

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения системы неравенств необходимо найти все пары целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющие обоим условиям:

$\begin{cases} y \le \frac{1}{2}x^2 + 2 \\ y \ge -2\sqrt{x} \end{cases}$

Из второго неравенства $y \ge -2\sqrt{x}$ следует, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Так как по условию $x$ — целое число, то $x$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, \ldots$ .

Объединим неравенства в одно двойное неравенство:

$-2\sqrt{x} \le y \le \frac{1}{2}x^2 + 2$

Для существования хотя бы одного решения $y$ необходимо, чтобы левая часть была не больше правой:

$-2\sqrt{x} \le \frac{1}{2}x^2 + 2$

Умножим обе части на 2 и перенесем все слагаемые в одну сторону:

$x^2 + 4 \ge -4\sqrt{x}$

$x^2 + 4\sqrt{x} + 4 \ge 0$

При $x \ge 0$ все слагаемые в левой части неотрицательны ($x^2 \ge 0$, $4\sqrt{x} \ge 0$, $4 > 0$), поэтому их сумма всегда будет больше нуля. Это означает, что неравенство выполняется для всех $x \ge 0$.

Поскольку область решений неограничена по $x$, и для каждого целого $x \ge 0$ существует диапазон значений для $y$, количество целочисленных решений $(x; y)$ в исходной задаче является бесконечным. Задачи такого типа, предлагаемые на экзаменах, обычно имеют конечное число решений. Это указывает на возможную опечатку в условии. Наиболее вероятной является опечатка в знаке перед $x^2$ в первом неравенстве. Рассмотрим исправленный вариант системы:

$\begin{cases} y \le -\frac{1}{2}x^2 + 2 \\ y \ge -2\sqrt{x} \end{cases}$

Теперь двойное неравенство для $y$ выглядит так:

$-2\sqrt{x} \le y \le -\frac{1}{2}x^2 + 2$

Условие существования решений:

$-2\sqrt{x} \le -\frac{1}{2}x^2 + 2$

$\frac{1}{2}x^2 - 2\sqrt{x} - 2 \le 0$

$x^2 - 4\sqrt{x} - 4 \le 0$

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$.

$t^4 - 4t - 4 \le 0$

Найдем, при каких значениях $t$ это неравенство выполняется. Граница области определяется уравнением $t^4 - 4t - 4 = 0$. При $t=1.8$ левая часть равна $1.8^4 - 4(1.8) - 4 = 10.4976 - 7.2 - 4 = -0.7024 < 0$. При $t=1.9$ левая часть равна $1.9^4 - 4(1.9) - 4 = 13.0321 - 7.6 - 4 = 1.4321 > 0$. Значит, корень $t_0$ находится между 1.8 и 1.9. Таким образом, неравенство выполняется для $t \in [0, t_0]$, где $1.8 < t_0 < 1.9$.

Возвращаясь к $x = t^2$, получаем $0 \le x \le t_0^2$. Так как $1.8^2 = 3.24$ и $1.9^2 = 3.61$, то $3.24 < t_0^2 < 3.61$. Поскольку $x$ — целое число, возможные значения для $x$: $0, 1, 2, 3$.

Теперь переберем все возможные значения $x$ и найдем для каждого соответствующие целые значения $y$.

При $x = 0$:
$-2\sqrt{0} \le y \le -\frac{1}{2}(0)^2 + 2 \implies 0 \le y \le 2$.
Целые значения $y$: 0, 1, 2. Всего 3 решения: (0, 0), (0, 1), (0, 2).

При $x = 1$:
$-2\sqrt{1} \le y \le -\frac{1}{2}(1)^2 + 2 \implies -2 \le y \le 1.5$.
Целые значения $y$: -2, -1, 0, 1. Всего 4 решения: (1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1).

При $x = 2$:
$-2\sqrt{2} \le y \le -\frac{1}{2}(2)^2 + 2 \implies -2.82... \le y \le 0$.
Целые значения $y$: -2, -1, 0. Всего 3 решения: (2, -2), (2, -1), (2, 0).

При $x = 3$:
$-2\sqrt{3} \le y \le -\frac{1}{2}(3)^2 + 2 \implies -3.46... \le y \le -2.5$.
Целое значение $y$: -3. Всего 1 решение: (3, -3).

Суммируем количество решений для каждого значения $x$:

$3 + 4 + 3 + 1 = 11$

Таким образом, существует 11 пар целых чисел, являющихся решениями (исправленной) системы неравенств.

Ответ: 11.